MT333二次曲线系方程

Posted 2021-11-27 mathstudy

已知椭圆$\\dfrac{x^2}{16}+\\dfrac{y^2}{4}=1$的下顶点为$A$,若直线$x=ty+4$与椭圆交于不同的两点$M,N$则当$t=$______时,$\\Delta AMN$外心的横坐标最大.

解答:设椭圆与圆交于四个点$A,M,N,T$,其中$M(4,0)$
则$NT\\cup AM:(Ax+By+C)*(x-2y-4)=0$则两条直线与椭圆构成的曲线系$(Ax+By+C)*(x-2y-4)+\\lambda(\\dfrac{x^2}{16}+\\dfrac{y^2}{4}-1)=0$由于圆的方程要求$xy$项没有,且$x^2,y^2$前系数相同.
故$(x+2y+C)*(x-2y-4)+\\lambda(\\dfrac{x^2}{16}+\\dfrac{y^2}{4}-1)=0$且$1+\\dfrac{\\lambda}{16}=-4+\\dfrac{\\lambda}{4}=0,$ 
得$\\lambda=\\dfrac{80}{3}$从而圆心的横坐标为$\\dfrac{3}{16}(4-C)$ 因为直线$NT:x+2y+C=0$
与椭圆$\\dfrac{x^2}{16}+\\dfrac{y^2}{4}=1$相交.故$1^2*16+2^2*4-C^2\\ge0$ 即$-4\\sqrt{2}\\le C\\le4\\sqrt{2}$
故圆心横坐标最大为$\\dfrac{3+3\\sqrt{2}}{4}$当$C=-4\\sqrt{2}$此时$N=T(2\\sqrt{2},\\sqrt{2})$代入$x=ty+4$
得$t=2-2\\sqrt{2}$

常规方法: