luogu2962 [USACO09NOV]灯Lights

Posted 2021-11-27 encodetalker

题目链接：luogu2962

这个题还可以折半搜索（似乎复杂度更有保证），不过作为练手更适合写异或方程组的高斯消元

异或方程组的高斯消元一般是如下形式
\[ (a_{i,1}*x_1)\text^(a_{i,2}*x_2)\text^\cdots\text^(a_{i,n}*x_n)=y_n \]
\(\text^\)表示异或运算符，所有的数均\(\in[0,1]\)

注意到异或操作类似于加减操作，直接对两个式子进行异或操作的话可以约去一些项

于是可以类似于高斯消元的方式对该方程进行求解

在这题中，\(a_{i,j}\)表示\(i,j\)之间是否有边相连，\(x_i\)表示是否打开灯的开关，\(y_n\)表示所有灯的最终状态，此题中均为\(1\)

直接进行高斯消元

但是会有一个问题：出现了自由元（即无穷解）

这时候异或方程组的性质就出现了——变量取值均在\(0,1\)这两个值之间

我们可以爆搜所有自由元的取值，剩下的用高斯消元得到的式子处理，但是复杂度貌似比较诡异（反正能过）

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
#define lowbit(x) (x)&(-x)
#define sqr(x) (x)*(x)
#define fir first
#define sec second
#define rep(i,a,b) for (register int i=a;i<=b;i++)
#define per(i,a,b) for (register int i=a;i>=b;i--)
#define maxd 1000000007
#define eps 1e-6
typedef long long ll;
const int N=100000;
const double pi=acos(-1.0);
int n,m,a[110][110],x[110],ans=maxd;

int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while ((ch<'0') || (ch>'9')) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while ((ch>='0') && (ch<='9')) {x=x*10+(ch-'0');ch=getchar();}
    return x*f;
}

void gauss()
{
    rep(i,1,n)
    {
        int now=i;
        while ((now<=n) && (a[now][i]==0)) now++;
        if (now>n) continue;
        if (now!=i) swap(a[now],a[i]);
        rep(j,1,n)
        {
            if (i==j) continue;
            if (a[j][i])
                rep(k,1,n+1) a[j][k]^=a[i][k];
        }
    }
}

void dfs(int now,int tot)
{
    if (tot>=ans) return;
    if (now==0) {ans=tot;return;}
    if (a[now][now])
    {
        int tmp=a[now][n+1];
        rep(i,now+1,n) if (a[now][i]) tmp^=x[i];
        x[now]=tmp;
        dfs(now-1,tot+=(tmp==1));
    }
    else 
    {
        x[now]=1;dfs(now-1,tot+1);
        x[now]=0;dfs(now-1,tot);
    }
}

int main()
{
    n=read();m=read();
    rep(i,1,n) {a[i][i]=1;a[i][n+1]=1;}
    rep(i,1,m)
    {
        int u=read(),v=read();
        a[u][v]=1;a[v][u]=1;
    }
    gauss();
    dfs(n,0);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}