codeforces 乱做题记录

Posted 2021-11-27 ljc00118

Codeforces 590 E

https://codeforces.com/problemset/problem/590/E

给 $ n $ 个只包含字符 $ a $ 和 $ b $ 的字符串，总长度不超过 $ 10^7 $，选出最多的字符串，使得其中不存在字符串 $ a $ 和 $ b $ 满足 $ a $ 是 $ b $ 的子串，输出方案，如果有多种方案，输出任意一种

$ n \le 750 $

我们需要对每个串求出所有的比它短的是它的子串的字符串，并向其连边，可以发现这 $ n $ 个点形成了若干个 DAG

对所有字符串建出 AC 自动机，每个节点记录一个 $ id $，表示当前节点的子串中是 $ n $ 个字符串中的最长的一个字符串的下标，再对每个串求出比它短的是它的子串的字符串，进行 floyd 传递闭包使得所有的不能放在一起的字符串均被求出

这个方法很巧妙，求出了每个节点在 DAG 上的后继再进行传递闭包，防止了匹配过程中跳 $ fail $ 指针次数过多，同时保证了正确性

如果把所有的边看成无向边，我们要求的就是这张图的最大独立集，直接做是指数级的，这个时候我们引入一些东西

偏序集：给定集合 $ S $ ，$ \le $ 是 $ S $ 上的二元关系，$ \le $ 要满足

• 自反性：$ \forall a \subseteq S $ 有 $ a \le a $
• 反对称性：$ \forall a, b \subseteq S, a \le b $ 且 $ b \le a $ 则 $ a = b $
• 传递性：$ \forall a, b, c \subseteq S, a \le b $ 且 $ b \le c $ 则 $ a \le c $

则称 $ \le $ 为 $ S $ 上的偏序关系，$ (S, \le) $ 是偏序集

可以发现偏序集形成若干 DAG，DAG 也可以形成偏序集

全序集：设 $ (S, \le) $ 是偏序集，如果 $ \forall a, b \subseteq S $ ， $ a \le b $ 和 $ b \le a $ 中至少有一个成立，则称 $ \le $ 为序关系，$ (S, \le) $ 是全序集

可以发现全序集形成一个 DAG，而且是一个团

以下的偏序关系均为 $ \le $

链：全序集

反链：设 $ S $ 是偏序集，如果 $ \forall a, b \subseteq S $ ， $ a $ 和 $ b $ 无法比较，则称 $ S $ 为反链

可以发现题目要求的就是最大反链的元素个数

Dilworth 定理：偏序集能划分成的最少的全序集的个数与最大反链的元素个数相等

偏序集能划分成的最少的全序集的个数，又因为每一个全序集都是链，所以题目转换为了 DAG 上的最小路径可重复点覆盖

DAG 上的最小路径可重复点覆盖需要传递闭包绕点 ( 具体可看这篇博客 )，我们最开始已经传递过闭包了，所以并不需要再做一次

然而这题还需要输出方案

考虑一下我们传递闭包后，每一条路径的开头的那个点，它和这条路径中的所有点都有偏序关系 ( $ \forall p \le p_1 $ )

我们把这些点放在一起，就形成了一条反链（如果不是反链，根据传递性，一定有两条路径可以合并成一条

所以我们把开头的这个点提出来（在算法中是二分图匹配里未被匹配的点）输出即可