P2774 方格取数问题 网络流

Posted 2021-11-26 echozqn

题目：

P2774 方格取数问题

 

题目背景

none!

题目描述

在一个有 m*n 个方格的棋盘中，每个方格中有一个正整数。现要从方格中取数，使任意 2 个数所在方格没有公共边，且取出的数的总和最大。试设计一个满足要求的取数算法。对于给定的方格棋盘，按照取数要求编程找出总和最大的数。

输入输出格式

输入格式：

 

第 1 行有 2 个正整数 m 和 n，分别表示棋盘的行数和列数。接下来的 m 行，每行有 n 个正整数，表示棋盘方格中的数。

 

输出格式：

 

程序运行结束时，将取数的最大总和输出

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3 3
1 2 3
3 2 3
2 3 1 

输出样例#1： 复制

11

说明

m,n<=100

 

 

 

这个题目推荐博客：https://blog.csdn.net/qq_38944163/article/details/81218555

这个博客写的很好，这个题目是一个二分图的最大独立集。

这个是让我们在一个方格中选取数字，题目限制就是共享同一个边的两个数不能取，这个题目一开始很难想到用二分图的最大独立集。

那我们就跟着之前推荐的博客思路走一下，首先你要将相邻的分开，然后我们可以知道如果，我们可以找一个办法把这些数分成两个部分，

如果两个数同在一个部分则说明他们一定不相邻，不在一个部分则可能相邻。

根据这个原则，我们发现，如果两个数的奇偶性相同则一定不相邻，反之则可能相邻，就这样我们把这个方格数字提取出来分成了两个部分。

再对两个部分的数字进行处理，第一部分的数字和s相连权值为这个数值的大小，第二部分的和t相连权值为这个数值的大小，如果这两个部分的数字是相邻就连一条线，这个线的边权是inf。

权值为inf的原因是不确定第一部分和s相连的权值。

然后我们要求如果连了线，那么就不能放在一起，意思是说这个图一定最后是不连通的，这个我们就想到了割。

答案就是 ans=所有数字之和 - 割

为了ans尽量大，所以这个割应该尽量小，所以 ans=所有数字之和 - 最小割（最大流）

知道了这里，就可以跑模板了，但是呢，还是感觉会有一点不能理解。

你可以这么想，我要这个不连通，跑了一个最大流之后，有一些管道就已经满了，如果满了，这个管道满了（假设是连接s） 那么另外一个连接t的管道可能没有满

这个时候最大值只会加上这个更小一点的数，就相当于我在这两个相邻的数之间选了一个更小的数出去，这个是不是就满足我们的要求了。

 

这个跑最大流，就有点像短板效应了，就是就是在两块板子里面选了更短的一块加起来，这个会不会比较好理解，

这些都是最小割里面的内容了，不会的可以取看看我的另一篇博文：

P2762 太空飞行计划问题 网络流

这个就讲了一点点最小割的东西。

 

 

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e5 + 10;
struct edge
{
    int u, v, c, f;
    edge(int u, int v, int c, int f) :u(u), v(v), c(c), f(f) {}
};
vector<edge>e;
vector<int>G[maxn];
int level[maxn];//BFS分层，表示每个点的层数
int iter[maxn];//当前弧优化
int m;
void init(int n)
{
    for (int i = 0; i <= n; i++)G[i].clear();
    e.clear();
}
void add(int u, int v, int c)
{
    e.push_back(edge(u, v, c, 0));
    e.push_back(edge(v, u, 0, 0));
    m = e.size();
    G[u].push_back(m - 2);
    G[v].push_back(m - 1);
}
void BFS(int s)//预处理出level数组
//直接BFS到每个点
{
    memset(level, -1, sizeof(level));
    queue<int>q;
    level[s] = 0;
    q.push(s);
    while (!q.empty())
    {
        int u = q.front();
        q.pop();
        for (int v = 0; v < G[u].size(); v++)
        {
            edge& now = e[G[u][v]];
            if (now.c > now.f && level[now.v] < 0)
            {
                level[now.v] = level[u] + 1;
                q.push(now.v);
            }
        }
    }
}
int dfs(int u, int t, int f)//DFS寻找增广路
{
    if (u == t)return f;//已经到达源点，返回流量f
    for (int &v = iter[u]; v < G[u].size(); v++)
        //这里用iter数组表示每个点目前的弧，这是为了防止在一次寻找增广路的时候，对一些边多次遍历
        //在每次找增广路的时候，数组要清空
    {
        edge &now = e[G[u][v]];
        if (now.c - now.f > 0 && level[u] < level[now.v])
            //now.c - now.f > 0表示这条路还未满
            //level[u] < level[now.v]表示这条路是最短路，一定到达下一层，这就是Dinic算法的思想
        {
            int d = dfs(now.v, t, min(f, now.c - now.f));
            if (d > 0)
            {
                now.f += d;//正向边流量加d
                e[G[u][v] ^ 1].f -= d;
                //反向边减d，此处在存储边的时候两条反向边可以通过^操作直接找到
                return d;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int Maxflow(int s, int t)
{
    int flow = 0;
    for (;;)
    {
        BFS(s);
        if (level[t] < 0)return flow;//残余网络中到达不了t，增广路不存在
        memset(iter, 0, sizeof(iter));//清空当前弧数组
        int f;//记录增广路的可增加的流量
        while ((f = dfs(s, t, INF)) > 0)
        {
            flow += f;
        }
    }
    return flow;
}

int main()
{
    int n, m, sum = 0;
    cin >> n >> m;
    int s = 0, t = n * m + 1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            int x;
            cin >> x;
            sum += x;
            int ex = (i - 1)*m + j;
            if ((i+j) & 1)//这个地方要注意一下，不能用ex&1  
            {
                add(s, ex, x);
                if (j + 1 <= m) add(ex, ex + 1, inf);
                if (i + 1 <= n) add(ex, i*m + j, inf);
                if (j - 1 >= 1) add(ex, ex - 1, inf);
                if (i - 1 >= 1) add(ex, (i - 2)*m + j, inf);
            }
            else add(ex, t, x);
        }
    }
    int ans = Maxflow(s, t);
    printf("%d\\n", sum - ans);
    return 0;
}