[Sdoi2013]直径

Posted 2021-11-26 akura

题目描述

小Q最近学习了一些图论知识。根据课本，有如下定义。树：无回路且连通的无向图，每条边都有正整数的权值来

表示其长度。如果一棵树有N个节点，可以证明其有且仅有N-1 条边。 路径：一棵树上，任意两个节点之间最多有一条简单路径。我们用 dis(a,b)表示点a和点b的路径上各边长度之和。称dis(a,b)为a、b两个节点间的距离。直径：一棵树上，最长的路径为树的直径。树的直径可能不是唯一的。

现在小Q想知道，对于给定的一棵树，其直径的长度是多少，以及有多少条边满足所有的直径都经过该边。

输入格式

第一行包含一个整数N，表示节点数。

接下来N-1行，每行三个整数a, b, c ，表示点 a和点b之间有一条长度为c的无向边。

2≤N≤200000，所有点的编号都在1..N的范围内，

边的权值≤10^9。

输出格式

共两行。第一行一个整数，表示直径的长度。第二行一个整数，表示被所有直径经过的边的数量。

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我们首先证明一个定理：

给定一棵树，对于它的任一直径，若取其几何意义上的中点，叫做这条直径的中点。那么， 一棵树的所有直径的中点必定是同一点。

证明：

显然，当这棵树只有一条直径时，定理成立。但很多情况下一棵树不止一条直径。但所有直径必定都经过同一点。为 什么呢？（下面证明的过程中有关长度与距离之类的量都为几何意义上的量）

假设有两条直径不经过同一点。设两条直径分别有一点A,B，并且A能够在不经过这两条直径上的边的情况下到达B。 那么这两个节点就将所在的直径分成了两段。我们取每条直径上较长的那段，加上A和B之间的长度，显然大于原来的直径长度。

那么任意两条直径必定会相交于一点。现在再假设有两条直径满足它们的中点A,B不是同一点。显然对于中点来说， 它将其所在直径分成了相同长度的两段。不妨设有一条不经过直径的路径连接A和另一条直径上的C点，那么：A所在 直径长度的1/2 + E(A,C) + E(B,C) + B所在直径长度的1/2 ≥ 任意一条直径的长度 = A所在直径长度的1/2 + B所在直径 长度的1/2，这样就存在一条新的路径，其长度大于原来的直径，这有悖直径定义。

证毕。

回到直径这道题，我们可以先随便求一条直径出来，然后设法搞出它的中点(直径长度/2的位置)。现在有两种情况：

1.（软柿子）中点就是树的某个节点。我们可以直接以这个点为根进行计算。

2.中点在树的某条边上。酱紫的话就把这条边扔了，在剩下的两棵子树上计算。

怎么计算呢？

第一种情况，由于从根节点可以连接出许多棵子树。我们取出深度最大的三棵子树a,b,c，并用d[x]表示x子树的最大深度。

1.d[a] > d[b] > d[c]。显然直径会经过a子树和b子树。然后我们递归，在a子树和b子树的根上进行相同计算，算出直径必然经过的边。

2.d[a] > d[b] = d[c]。那么只需在a子树的根上进行相同计算即可。

3.d[a] = d[b] = d[c]。那么没有被所有直径经过的边。

如法炮制，对于第二种情况，我们只需在去掉边之后的两颗子树上分别进行上述操作即可。