单调队列优化多重背包

Posted 2021-11-26 liqgnonqfu

回顾多重背包

有n种物品，用大小为m的包来装，问获取的最大价值为多少。其中，第 i 种物品的重量，价值，个数分别为 w[i],v[i],c[i].

那么，若f[i][j]表示考虑前 i 种物品，使用 j 的背包可获取的最大价值，状态转移方程为

for(int i=1;i<=n;i++)

　　for(int k=1;k<=c[i];k++)

　　　　for(int j=0;j<=m;j++)

　　　　　　if(j-k*w[i]>=0)f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-k*w[i])+v[i]);

　　　　　　else f[i][j]=f[i-1][j];

单调队列优化

考虑到，f[i][j1]可由f[i-1][j2]更新当且仅当j1,j2模w[i]同余。

那么，要更新每个f[i][j]，只用在 j‘ 模w[i]同余地一系列f[i-1][j‘]中找，而且这一系列数的 j‘ 有都相差w[i]，所以可以用一个单调队列来保存离 j 最近的c[i]个 j‘ 的最大值，队首保存用于更新的最优解，就可以直接找到最优的更新方案。

对于进队的条件：

由于放同一种物品空间与价值成正比，则f[i-1][j]可以更新的背包空间为一条斜线段所覆盖的区域，起点即为点(j,f[i-1][j])，斜率即为价值比总量，而队中存的就是起点（我存了起点的横坐标）。若当前有要入队的起点，可以做如第一个图的比较，使用当前起点更新的范围是否涵盖了队尾元素，若涵盖了则弹出，否则将当前起点加入队中。

对于出队条件：当前要更新的背包空间已经超出了队首的最远更新范围。

HDU2191代码

题目链接

这个题其实可以不加优化：-）

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int C,n,m,a[101],b[101],c[101],f[101][101];
 4 int dui[100000],hd,tl;
 5 
 6 bool calc(int kj,int wp)
 7 {
 8     int maxa=c[wp]*a[wp];
 9     int tem=dui[hd+1];
10     if(tem+maxa<kj)return 1;
11     return 0;
12 }
13 
14 bool cc(int kj,int wp)
15 {
16     if(hd==tl)return 0;
17     int tem=dui[tl];
18     if((kj-tem)/a[wp]*b[wp]<=f[wp-1][kj]-f[wp-1][tem])return 1;
19     return 0;
20 }
21 
22 int main()
23 {
24     scanf("%d",&C);
25     for(int I=1;I<=C;I++)
26     {
27         memset(f,0,sizeof(f));
28         scanf("%d%d",&n,&m);
29         for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
30         for(int i=1;i<=m;i++)
31         {
32             for(int ys=0;ys<a[i];ys++)
33             {
34                 hd=0;
35                 tl=0;
36                 for(int j=ys;j<=n;j+=a[i])
37                 {
38                     while((hd!=tl)&&calc(j,i))
39                     {
40                         hd++;
41                     }
42                     if(hd!=tl)
43                     {
44                         int tem=dui[hd+1];
45                         f[i][j]=f[i-1][tem]+(j-tem)/a[i]*b[i];
46                     }
47                     f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j]);
48                     while(cc(j,i))tl--;
49                     tl++;
50                     dui[tl]=j;
51                 } 
52             }
53         }
54         int ans=0;
55         for(int i=0;i<=n;i++)
56         {
57             for(int j=1;j<=m;j++)
58             ans=max(ans,f[j][i]);
59         }
60         printf("%d\\n",ans);
61     }
62     return 0;
63 }