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Posted 2021-11-26 wzj-xhjbk

题目大意：给定一个长度为 N 的序列，每个位置有一个权值，现选出一些点，满足相邻的 M 个点中至多有 Q 个点被选择，求选出点权的最大值是多少。

题解：若没有相邻的限制，这道题类似于子集和问题，即：背包问题。考虑相邻的限制，对于每个点可以记录下一个状态，代表以这个点结束，向前 M 个点的选择情况，0 表示没有选择，1 表示选择。这样对于状态之间的转移可以在 \(O(1)\) 的时间内完成，总的时间复杂度为 \(O(n*2^{10})\)。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;
const int maxn=1010;
const int maxs=1<<10;

int n,m,q,w[maxn];
int f[maxn][maxs];
vector<int> valid;

void prework(){
    for(int s=0;s<1<<m;s++){
        int cnt=0,ss=s;
        while(ss)ss-=ss&-ss,++cnt;
        if(cnt<=q)valid.pb(s);
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]);
    prework();
    int all=(1<<m)-1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(auto s:valid){
            if(s>>(m-1)&1)f[i][s]=max(f[i-1][(s<<1)&all],f[i-1][(s<<1)&all|1])+w[i];
            else f[i][s]=max(f[i-1][(s<<1)&all],f[i-1][(s<<1)&all|1]);
        }
    }
    int ans=0;
    for(auto s:valid)ans=max(ans,f[n][s]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}