午学树链剖分有感~

Posted 2021-11-26 klmon666

今天上课谈到树链剖分，被机房某dalao嘲讽了一波，决定冒着不听课的风险学链剖

关于这篇blog的灵感来源：传送门，不妥删

1.0前置知识

1.1链式向前星

这个应该都会吧，但还是附上讲解，这个图很易懂啊，蒟蒻当时一直没学懂，看了图才发现自己有多弱智

1.2dfs序

这个学长上课讲的随便找了一个讲解，仅供参考：传送门

1.3线段树

线段树应该都学了，就不附连接了

1.4为什么要学链剖

小蒟蒻没怎么做过树上倍增和链剖的题，但据说树上倍增的题链剖都能做，但链剖的题树上倍增不一定能做

2.0正文

2.1模板题传送门：洛谷p3384

2.2一些定义

• 重儿子：父节点的所有儿子中子树结点数目最大的结点；
• 轻儿子：父节点中除了重儿子以外的儿子；
• 重边：父亲结点和重儿子连成的边；
• 轻边：父亲节点和轻儿子连成的边；
• 重链：由多条重边连接而成的路径；
• 轻链：由多条轻边连接而成的路径；

另：

1. 如果一个点的一堆儿子所在子树大小相等且最大，那随便找一个做重儿子，这真的很严谨
2. 叶节点没有重儿子，非叶节点有且仅有一个重儿子

图解（手绘不易，图丑勿喷，谢谢配合）

 

黄线：重边；黑线：轻边；

重链如1-4，2-11……轻链如2-5……

红色节点：重链所在起点（top[ ]);

重儿子重边连接的节点，其余为轻儿子；

每条边的值实为dfs顺序

2.3变量声明

struct node1{//邻接表，链式向前星
    int next,to;
    #define next(i) e[i].next
    #define to(i) e[i].to
}e[maxn*2];
struct node2{//线段树维护
    int l,r,ls,rs,sum,lazy;
    #define l(i) a[i].l
    #define r(i) a[i].r
    #define sum(i) a[i].sum
    #define lazy(i) a[i].lazy
    #define ls(i) a[i].ls
    #define rs(i) a[i].rs
}a[maxn*2];
int n,m,r,rt,mod,v[maxn],head[maxn],cnt,rk[maxn];//rk存当前dfs标号在树中所对应的节点
int fa[maxn],depth[maxn],son[maxn],size[maxn];//fa他爹，depth深度，son重儿子，size子树大小（包含自身）
int top[maxn],id[maxn];//top是当前节点所在链的顶端节点（记得之前的红节点吗），id树中每个节点剖分以后的新编号（DFS的执行顺序）

酷爱宏定义的我,首先要说一下这里所有的int 都代表long long

是不是有一丝迷茫？O(∩_∩)O没关系看看下面

2.4一些函数讲解

（1）add加边操作，详见链式向前星

inline void add(int x,int y){//链式向前星加边 
    nex(++cnt)=head[x];to(cnt)=y;head[x]=cnt;
}

 

（2）dfs1，作用：处理fa,depth,size

inline void dfs1(int p){
    size[p]=1,depth[p]=depth[fa[p]]+1;//更新size，depth
    for(int i=head[x];i;i=next(i)){
        int q=to(i);
        if(q==fa[p])continue;//找到爸爸就返回
        fa[q]=p,dfs1(q),size[p]+=size[q];
        if(size[son[p]]<size[q])son[p]=q;//更新重儿子    
 }}

上图跑完以后是这个样子（这个直接截了dalao的图代表和上面一样，f代表fa，d代表depth）

（3）dfs2 作用：处理top，rk，id

inline void dfs2(int p,int tp){
    top[p]=tp,id[p]=++cnt,rk[cnt]=p;//更新数组 
    if(son[p])dfs2(son[p],tp);//有重儿子就继续递归更新下去 
    for(i=head[x];i;i=next(i)){
        int q=to(i);
        if(q!=fa[p]&&q!=son[p])
            dfs2(q,q);//显然位于轻链低端的点top为他本身 
    }
}

如果对于id和rk仍然有些不懂，请看下图

其实rk和id就是反着的啦~

（4）pushup（p）操作用来更新以p为节点的子树的和

inline void pushup(int p){//左右子树更新和
 sum(p)=sum(ls(p))+sum(rs(p));
 sum(p)%=mod;
}

（5）build（l,r,p)建树

inline void build(int l,int r,int p){//建树,p当前节点 
    if(l==r){
        sum(p)=v[rk[l]];//或v[rk[r]] 
        l(p)=r(p)=l;return ;//或=r 
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    ls(p)=cnt++,rs(p)=cnt++;
    build(l,mid,ls(p)),build(mid+1,r,rs(p));
    l(p)=l(ls(p)),r(p)=r(rs(p));
    pushup(p);//建了子树当然要更新一下和 
}

（6）len（p）求长度

inline int len(int p){
    return r(p)-l(p)+1;
}

（7）pushdown（p）传以p为节点的子树的懒标记

inline void pushdown(int p){//传懒标记 ，不太懂得可以先巩固一遍线段树
    if(lazy(p)){
        int ls=ls(p),rs=rs(p),lz=lazy(p);
        (lazy(ls)+=lz)%=mod;(lazy(rs)+=lz)%=mod;
        (sum(ls)+=lz*len(ls))%=mod;
        (sum(rs)+=lz*len(rs))%=mod;
        lazy(p)=0;
    }
}

（8）update（l,r,d,p)修改某一子树

inline void update(int l,int r,int d,int p){//修改某一子树 
    if(l(p)>=l&&r(p)<=r){
        lazy(p)+=d;lazy(p)%=mod;
        sum(p)+=len(p)*d;sum(p)%=mod;
        return ;
    }
    pushdown(p);
    int mid=(l(p)+r(p))>>1;
    if(mid>=l)update(l,r,d,ls(p));
    if(mid<r)update(l,r,d,rs(p));
    pushup(p);
}

（9）updates（x，y，d）从lca往下跳到x调用update再从lca跳到y调用update

inline void updates(int x,int y,int d){
    while(top[x]!=top[y]){
        if(depth[top[x]]<depth[top[y]])swap(x,y);//我们假设x更深 
        update(id[top[x]],id[x],d,root);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(id[x]>id[y])swap(x,y);
    update(id[x],id[y],d,root);
}

（10）query（l,r,p)询问某子树和

inline int query(int l,int r,int p){ 
    if(l(p)>=l&&r(p)<=r)return sum(p);
    pushdown(p);
    int mid=(l(p)+r(p))>>1,tot=0;
    if(mid>=l)tot+=query(l,r,ls(p));
    if(mid<r)tot+=query(l,r,rs(p));
    return tot%mod;
}

（11）ask（x,y）询问路径和（ask，query和updates，update道理是一样的）

inline int ask(int x,int y){//求路径和 
    int ans=0;
    while(top[x]!=top[y]){
        if(depth[top[x]]<depth[top[y]])swap(x,y);
        ans+=query(id[top[x]],id[x],root);
        ans%=mod;
        x=fa[top[x]];
    }
    if(id[x]>id[y])swap(x,y);
    return ans+query(id[x],id[y],root)%mod;
}

（12）终于迎来了主函数！

signed main(){
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&root,&mod);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&v[i]);
    for(int i=1;i<=n-1;i++){
        int x,y;
        scanf("%lld%lld",&x,&y);
        add(x,y);add(y,x);
    }
    cnt=0;dfs1(root);dfs2(root,root);
    cnt=0;build(1,n,root=cnt++);
    while(m--){
        int type;
        scanf("%lld",&type);
        switch(type){
            case 1:{
                int x,y,d;
                scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&d);
                updates(x,y,d);
                break;
            }
            case 2:{
                int x,y;
                scanf("%lld%lld",&x,&y);
                printf("%lld\\n",ask(x,y));
                break;
            }
            case 3:{
                int x,y;
                scanf("%lld%lld",&x,&y);
                update(id[x],id[x]+size[x]-1,y,root);
                break;
            }
            case 4:{
                int x;
                scanf("%lld",&x);
                printf("%lld\\n",query(id[x],id[x]+size[x]-1,root));
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}

3.0后记

emmmm对于这道模板题……我死了，所以在这也就不发完整代码了，大家可以借鉴一下我在开头提到的dalao的blog

如果有dalao愿意把这些函数凑到一起帮我查个错，那就感激涕零了(?????)

国际惯例：撒花完结*★,°*:.☆(￣▽￣)/$:*.°★* 。