[转] 先验概率and后验概率

Posted 2021-11-26 arborday

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先验概率：

事件发生前的预判概率。可以是基于历史数据的统计，可以由背景常识得出，也可以是人的主观观点给出。一般都是单独事件概率，如P(x),P(y)。

后验概率：

事件发生后求的反向条件概率；或者说，基于先验概率求得的反向条件概率。概率形式与条件概率相同。

条件概率：

一个事件发生后另一个事件发生的概率。一般的形式为P(x|y)表示y发生的条件下x发生的概率。



贝叶斯公式：

    P(y|x) = ( P(x|y) * P(y) ) / P(x)

这里：

    P(y|x) 是后验概率，一般是我们求解的目标。

    P(x|y) 是条件概率，又叫似然概率，一般是通过历史数据统计得到。一般不把它叫做先验概率，但从定义上也符合先验定义。

    P(y) 是先验概率，一般都是人主观给出的。贝叶斯中的先验概率一般特指它。

    P(x) 其实也是先验概率，只是在贝叶斯的很多应用中不重要（因为只要最大后验不求绝对值），需要时往往用全概率公式计算得到。



实例：假设y是文章种类，是一个枚举值；x是向量，表示文章中各个单词的出现次数。

在拥有训练集的情况下，显然除了后验概率P(y|x)中的x来自一篇新文章无法得到，p(x),p(y),p(x|y)都是可以在抽样集合上统计出的。



最大似然理论：

    认为P(x|y)最大的类别y，就是当前文档所属类别。即Max P(x|y) = Max p(x1|y)*p(x2|y)*...p(xn|y), for all y

贝叶斯理论：

    认为需要增加先验概率p(y)，因为有可能某个y是很稀有的类别几千年才看见一次，即使P(x|y)很高，也很可能不是它。

    所以y = Max P(x|y) * P(y), 其中p(y)一般是数据集里统计出来的。



从上例来讲，贝叶斯理论显然更合理一些；但实际中很多先验概率是拍脑袋得出的（不准），有些甚至是为了方便求解方便生造出来的（硬凑），那有先验又有什么好处呢？一般攻击贝叶斯都在于这一点。

 

条件概率公式：

                            

全概率公式：

                           

贝叶斯公式：

                         

给定某系统的若干样本X，计算该系统的参数，即

                                 

P(θ) 没有数据支持下，θ发生的概率：先验概率

P(θ|x) 在数据X的支持下，θ发生的概率：后验概率，贝叶斯公式也称为后验公式

p(x|θ) 给定某参数θ的概率分布：似然函数

理解：

1) 教科书上的解释总是太绕了，有一个很好例子：在没有给任何信息的前提下，让猜某人的姓氏。为了猜对概率大一些，你可能会先百度一下中国人口的姓氏排名，发现李姓是中国第一大姓，约占全国汉族人口的7.94%，所以你可能会猜李。也就是李姓出现在的概率最大。

此时李姓的概率即为 先验概率

2) 接着有人给提供了一些跟这个人相关信息，比如：知道他是来自”赵家村“，那这个时候你就知道，他姓赵的概率比较大，就会猜姓赵。

此时P(姓赵|赵家村)这个条件概率，即为 后验概率

3) 似然函数：

由贝叶斯公式带来的思考：

给定某些样本A，在这些样本中计算结论B1,B2....Bi出现的概率，即P(Bi|A)，拿概率最大的那个结论B做为样本A最终的结论，也就是说我要求max P(Bi|A)，由贝叶斯公式：

max P(Bi|A) = max P(A|Bi)P(Bi)/P(A)  

其中 P(A) 即 

又因为样本A给定，对于B1,B2....Bi来说P(A)是相同的，可以把分母去掉：

max P(Bi|A) => max P(A|Bi)P(Bi)

若这些结论B1,B2....Bi的先验概率相等（或者近似），则可以得到：

max P(Bi|A) => max P(A|Bi)P(Bi)=> max P(A|Bi)

最后得到结论，我们求maxP(Bi|A)，实际跟求max P(A|Bi)是等价的 而P(A|Bi)就是似然函数