巴仕博弈 + 威佐夫博弈

Posted 2021-11-26 graytido

既然会了尼姆博弈和SG函数，那么巴仕博弈和威佐夫博奕照理说应该是不在话下了

巴什博奕：

两个顶尖聪明的人在玩游戏，有n个石子，每人可以随便拿1到m个石子，不能拿的人为败者，问谁会胜利

巴什博奕是博弈论问题中基础的问题

它是最简单的一种情形对应一种状态的博弈

博弈分析

如果有m+1个石子，那么先手必定无法取完全部，但后手可以取完剩下的部分，使得先手没有石子可以取，那么这个时候先手必败，

那么假设石子总数为（m+1)*r+n,r,n都为自然数，且n<m+1，那么如果我们先手，当r≠0时，我们只需要取走n个石子，那么剩下的是（m+1)*r个石子，那么无论对手如何取，我们只需取走和和他取走数和为m+1的石子数就可保证必胜，

若是n=0，那么我们相当于前面一种情况的后手，即为必败态

例题：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1846

题意：裸巴仕博弈

代码：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int main()
 4 {
 5     int t;
 6     cin>>t;
 7     while(t--)
 8     {
 9         int n,m;
10         cin>>n>>m;
11         if(n%(m+1))
12             cout<<"first"<<endl;
13         else 
14             cout<<"second"<<endl;
15     }
16     return 0;
17 }

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威佐夫博奕：

有两堆各若干个物品，两个人轮流从任一堆取至少一个或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

我们可以用SG函数来判断胜负，但是让我们从正面出发去解解看

1，我们用（a[k]，b[k]）（a[k] ≤ b[k] ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势。

2，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。

3，奇异局（举例）

首先列举人们已经发现的前几个奇异局势：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）

（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。

通过观察发现：a[0]=b[0]=0,a[k]是未在前面出现过的最小自然数,而 b[k]= a[k] + k。

4，奇异局势有如下三条性质：

1）任何自然数都包含且仅包含在一个奇异局势中。

2）任意操作都可以使奇异局势变为非奇异局势。

3）必有一种操作可以使非奇异局势变为奇异局势。

5，奇异局势公式：

a[k]=[k*(1+√5)/2]，b[k]=a[k]+k。

(k=0,1,2......，[ ]表示取整）

有趣的是，式中的(1+√5)/2正是黄金分割比例。

HDU-1527（取石子游戏） http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1527

题意：威佐夫博弈

 1 //HDU-1527(威佐夫博弈取石子游戏)
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 using namespace std;
 4 typedef long long ll;
 5 int main()
 6 {
 7     ll n,m;
 8     while(cin>>n>>m)
 9     {
10         if(n>m)
11         swap(n,m);
12         double r=(sqrt(5.0)+1)/2;
13         if(n==(ll)((m-n)*r))
14         cout<<0<<endl;
15         else 
16         cout<<1<<endl;
17     }
18     return 0;
19  } 

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