| 分治-奇袭raid

Posted 2021-11-26 orange-

3.奇袭

 

(raid.cpp\c\pas)

 

【问题描述】

 

由于各种原因，桐人现在被困在Under World（以下简称UW）中，而UW马上要迎来最终的压力测试——魔界入侵。

 

唯一一个神一般存在的Administrator被消灭了，靠原本的整合骑士的力量是远远不够的。所以爱丽丝动员了UW全体人民，与整合骑士一起抗击魔族。

 

在UW的驻地可以隐约看见魔族军队的大本营。整合骑士们打算在魔族入侵前发动一次奇袭，袭击魔族大本营！

 

为了降低风险，爱丽丝找到了你，一名优秀斥候，希望你能在奇袭前对魔族大本营进行侦查，并计算出袭击的难度。

 

经过侦查，你绘制出了魔族大本营的地图，然后发现，魔族大本营是一个N ×N的网格图，一共有N支军队驻扎在一些网格中（不会有两只军队驻扎在一起）。

 

在大本营中，每有一个k×k(1≤k≤N)的子网格图包含恰好k支军队，我们袭击的难度就会增加1点。

 

现在请你根据绘制出的地图，告诉爱丽丝这次的袭击行动难度有多大。

【输入格式】

 

第一行，一个正整数N，表示网格图的大小以及军队数量。接下来N行，每行两个整数,Xi,Yi，表示第i支军队的坐标。

 

保证每一行和每一列都恰有一只军队,即每一个Xi和每一个Yi都是不一样

 

的。

 

【输出格式】

 

一行，一个整数表示袭击的难度。

【输入输出样例】

 raid.in

5

1 1

3 2

2 4

5 5

4 3

 raid.out

10

【样例解释】

 

显然，分别以(2,2)和(4,4)为左上,右下顶点的一个子网格图中有3支军队，这为我们的难度贡献了1点。

 

类似的子网格图在原图中能找出10个。【数据范围】

 

对于30%的数据，N ≤ 100

 

对于60%的数据，N ≤ 5000 对于100%的数据，N ≤ 50000

 

题目的关键点：

1）每一行和每一列都恰有一只军队。因此合法矩形只要满足 存在军队的点的横坐标的最值之差 = 存在军队的点的纵坐标最值之差 即可。

换言之，若以x作为y的下标，即存在军队的点（x，y）等价于（x，map[x]），则合法矩形满足 max（map[x])-min（map[x]） = right - left

其中 x∈（left，right）

2）因为 max（map[x])-min（map[x]） = right - left = 边长d，所以当最值之差确定，则边长确定。

3）n的范围决定了AC解法不能是O（n²）的，因此无法同时枚举起点和矩形边长，由此排除dp

......我知道该题真的很像dp(○´?д?)?

 

对于纵坐标在（l，r）之间的地图，合法矩形的数目 = 只覆盖左侧的矩形 + 只覆盖右侧的矩形 + 同时覆盖左右的矩形

前两者用递归统计答案，因此每一个区间只用统计同时覆盖左右的矩形即可

同时覆盖左右的矩形，它的区间最值分布可能是：

• 同在矩形左侧
• 最小值在矩形左侧，最大值在矩形右侧
• 同在矩形右侧
• 最小值在矩形右侧，最大值在矩形左侧

在地图(l,r)枚举矩形的边界i

由于矩形是连续的而不能割裂，因此维护最值是矩形的边界到中点的最值

如max[i]维护的是区间[i,mid]的最大值(l<=i<=mid)

max[i]维护的是区间[mid+1,i]的最大值(mid<i<=r)

1）同在矩形左侧

设左边界为i

矩形边长d = max[i,mid] - min[i,mid]

矩形右边界 j = i + d = i + max[i,mid] - min[i,mid]

• ∵同时覆盖左右 ∴j >= mid 且 j <= r
• ∵最小值在左侧 ∴min(mid,j] > min[i,mid]
• ∵最大值也在左侧 ∴max(mid,i] > max[j,mid]

2）最小值在矩形左侧，最大值在矩形右侧

max（map[mid，x])-min（map[x，mid]） = right - left

移项可得 max（map[mid，x])-right = min（map[x，mid]） - left

因为此处枚举的是左边界i，因此 min（map[x，mid]）-left = min（map[i，mid]）- i 只与当前i有关

• ∵同时覆盖左右 ∴j >= mid 且 j <= r
• ∵最小值在左侧 ∴min(mid,j] > min[i,mid]
• ∵最大值在右侧 ∴max(mid,i] < max[j,mid]

而 max（map[mid，x]) 递增，min（map[mid，x])递减

因此可以用桶排序筛选合法的右边界

 

int m=(l+r)/2;
    mmax[m]=mmin[m]=map[m];
    mmax[m+1]=mmin[m+1]=map[m+1];
    /* mmin[i]指i到mid这段区间的最值 */ 
    for(int i=m-1;i>=l;i--) {mmin[i]=min(mmin[i+1],map[i]); mmax[i]=max(mmax[i+1],map[i]);}
    for(int i=m+2;i<=r;i++) {mmin[i]=min(mmin[i-1],map[i]); mmax[i]=max(mmax[i-1],map[i]);}
  
    int z1=m+1,z2=m+1;
    for(int i=m;i>=l;i--)
    {
        int j=mmax[i]-mmin[i]+i;

        /* 最值同在左侧 */ 
        if(j>m&&j<=r&&mmax[j]<mmax[i]&&mmin[j]>mmin[i]) ans++; 

        /* 最大值在右侧 且满足最小值在左侧 */ 
        /* 当mmax[k1]-k1=mmin[k2]-k2时矩形(k2,mmin[k2],k1,mmax[k1])合法 */ 
        while(z2<=r&&mmin[z2]>=mmin[i]) {sum[mmax[z2]-z2+MAX]++;z2++;}
        while(z1<=r&&mmax[z1]<=mmax[i]) {sum[mmax[z1]-z1+MAX]--;z1++;} 
        ans+=max(sum[mmin[i]-i+MAX],0); 
     }     

 

右边界的处理同理

     z1=m;z2=m;
    for(int i=l;i<=r;i++) sum[mmax[i]-i+MAX]=0;
    for(int i=m+1;i<=r;i++)
    {
        int j=i-mmax[i]+mmin[i];
        if(j>=l&&j<=m&&mmax[j]<mmax[i]&&mmin[j]>mmin[i]) ans++;
        while(z2>=l&&mmin[z2]>=mmin[i]) {sum[mmax[z2]+z2+MAX]++;z2--;}
        while(z1>=l&&mmax[z1]<=mmax[i]) {sum[mmax[z1]+z1+MAX]--;z1--;} 
        ans+=max(sum[mmin[i]+i+MAX],0);
    }
    for(int i=l;i<=r;i++) sum[mmax[i]+i+MAX]=0;

完整的AC代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAX=50000;
int n;
int map[50001],mmax[50001],mmin[50001];
int sum[50001+MAX];
int ans=0;
void work(int l,int r)
{
    if(l==r) return;
    int m=(l+r)/2;
    mmax[m]=mmin[m]=map[m];
    mmax[m+1]=mmin[m+1]=map[m+1];
    /* mmin[i]指i到mid这段区间的最值 */ 
    for(int i=m-1;i>=l;i--) {mmin[i]=min(mmin[i+1],map[i]); mmax[i]=max(mmax[i+1],map[i]);}
    for(int i=m+2;i<=r;i++) {mmin[i]=min(mmin[i-1],map[i]); mmax[i]=max(mmax[i-1],map[i]);}
    int z1=m+1,z2=m+1;
    for(int i=m;i>=l;i--)
    {
        int j=mmax[i]-mmin[i]+i;
        /* 最值同在左侧 */ 
        if(j>m&&j<=r&&mmax[j]<mmax[i]&&mmin[j]>mmin[i]) ans++; 
        /* 最大值在右侧 且满足最小值在左侧 */ 
        /* 前缀和基于mmax[k1]-k1=mmin[k2]-k2时矩形(k2,mmin[k2],k1,mmax[k1])合法 */ 
        while(z2<=r&&mmin[z2]>=mmin[i]) {sum[mmax[z2]-z2+MAX]++;z2++;}
        while(z1<=r&&mmax[z1]<=mmax[i]) {sum[mmax[z1]-z1+MAX]--;z1++;} 
        ans+=max(sum[mmin[i]-i+MAX],0); 
     }     
     z1=m;z2=m;
    for(int i=l;i<=r;i++) sum[mmax[i]-i+MAX]=0;
    for(int i=m+1;i<=r;i++)
    {
        int j=i-mmax[i]+mmin[i];
        if(j>=l&&j<=m&&mmax[j]<mmax[i]&&mmin[j]>mmin[i]) ans++;
        while(z2>=l&&mmin[z2]>=mmin[i]) {sum[mmax[z2]+z2+MAX]++;z2--;}
        while(z1>=l&&mmax[z1]<=mmax[i]) {sum[mmax[z1]+z1+MAX]--;z1--;} 
        ans+=max(sum[mmin[i]+i+MAX],0);
    }
    for(int i=l;i<=r;i++) sum[mmax[i]+i+MAX]=0;
    work(l,m);
    work(m+1,r);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        int a,b;t
        scanf("%d%d",&a,&b);
        map[a]=b;
    }
    work(1,n);
    printf("%d",ans+n);
}

View Code

 

 

HYX说可以用 分块+单调栈 做，不过还没有看分块的我(○´?д?)?

那么看了分块以后就回来写这道题吧咕咕咕