[HAOI2016]放棋子

Posted 2021-11-26 a1b3c7d9

[HAOI2016]放棋子

有一\(N\times N\)的棋盘，有N个障碍物放入其中，已经给出其位置，并且保证每一行每一列有且仅有一个障碍物，现在再给你N个棋子，放入其中，保证每一行每一列有且仅有一颗棋子，询问其方案数。

解

根据错排自由定理，我们完全可以把障碍物按照行递增的方式的排序起来，即把障碍物全部摆到对角线上特殊化问题，于是对于每一列摆棋子即变成不能摆对应列号的行，转换模型即一个1~N全排列中，保证每个数都不摆到其对应编号的位置上，此时就变成了一个裸的错排模型，设\(f[n]\)表示长n的错排问题的方案数，与\(f[n-1]\)关系在于多了一个数n放入其中，它显然不能放到第n个位置，于是放在前面有n-1种选择，而被放的位置的数可以选择放到第n个位置，这样就变成\(f[n-2]\)的错排问题，而如果不放到最后一个位置，不难得知等价于\(f[n-1]\)的错排问题，于是我们有

\[f[n]=(n-1)\times(f[n-1]+f[n-2])\]

边界：\(f[1]=0,f[2]=1\)

答案：\(f[n]\)

打个高精即可。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define il inline
#define ri register
using namespace std;
struct lll{
    int num[1000];
    lll(){memset(num,0,sizeof(num)),num[0]|=true;}
    il void operator=(string s){
        num[0]=s.size();
        for(int i(1);i<=num[0];++i)
            num[i]=s[num[0]-i]-48;
    }
    il void print(){
        for(ri int i(num[0]);i;--i)
            putchar(num[i]+48);
    }
    il lll operator+(lll x){
        lll y;ri int i;
        for(i=1;i<=num[0]||i<=x.num[0];++i){
            y.num[i]+=num[i]+x.num[i];
            if(y.num[i]>9)y.num[i]-=10,++y.num[i+1];
        }while(!y.num[i]&&i)--i;y.num[0]=i;return y;
    }
    il lll operator*(lll x){
        lll y;ri int i,j,k;
        for(i=1;i<=num[0];++i){
            k=0;
            for(j=1;j<=x.num[0];++j)
                y.num[i+j-1]+=k+num[i]*x.num[j],
                    k=y.num[i+j-1]/10,y.num[i+j-1]%=10;
            y.num[i+x.num[0]]+=k;
        }y.num[0]=num[0]+x.num[0];
        while(y.num[0]&&!y.num[y.num[0]])--y.num[0];
        return y;
    }
}dp[201],lsy;
int main(){
    int n,i;scanf("%d",&n);
    dp[2]="1",lsy="2";
    for(i=3;i<=n;++i,lsy=lsy+dp[2])
        dp[i]=(dp[i-1]+dp[i-2])*lsy;
    dp[n].print();
    return 0;
}