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Posted 2021-11-26 shl-blog

关于lca和树上差分的题目。

根据题目描述，主要边是一棵树，附加边会和主要边构成一个环，如果我们第一步切断了一条主要边，我们下一步就必须切断一条附加边才能符合题意。

所以，我们可以认为一条附加边(x,y)把树上x,y之间的路径覆盖了一遍，我们需要统计每条主要边被覆盖多少次即可。具体地，如果第一步我们切断被覆盖0次的边（这条边上没有附加边，切断一次就已经不连通了），那么我们第二次可以切断m条附加边的任意一条。如果我们切断覆盖一次的边，那么我们第二次的方法唯一确定。如果我们第一步切断被覆盖2次或以上的边，那么我们无论如何也无法切断整个图。这样我们就得到了答案。

我们使用树上差分来解决。对于每一条附加边(x,y)，我们将x，y的权值分别加1，将lca(x,y)的权值-2，之后我们遍历一遍这棵树，设tot[x]表示以x为根的子树的权值之和，那么f[x]就是x与他的父亲的路径被覆盖的次数。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 using namespace std;
 6 typedef long long ll;
 7 inline int read() {
 8     int ret=0;
 9     int op=1;
10     char c=getchar();
11     while(c<‘0‘||c>‘9‘) {if(c==‘-‘) op=-1; c=getchar();}
12     while(c<=‘9‘&&c>=‘0‘) ret=ret*10+c-‘0‘,c=getchar();
13     return ret*op;
14 }
15 struct node {
16     int next,to;
17 }a[100010<<1];
18 int num,head[100010<<1];
19 int n,m,tot[100010],fa[100010][25],d[100010];
20 inline void add(int from,int to) {
21     a[++num].next=head[from];
22     a[num].to=to;
23     head[from]=num;
24 }
25 void dfs(int u,int f) {
26     d[u]=d[f]+1;
27     fa[u][0]=f;
28     for(int i=0;i<20;i++)
29         fa[u][i+1]=fa[fa[u][i]][i];
30     for(int i=head[u];i;i=a[i].next) {
31         int v=a[i].to;
32         if(v==f) continue ;
33         dfs(v,u);
34     }
35 }
36 int lca(int x,int y) {
37     if(d[x]<d[y]) swap(x,y);
38     for(int i=20;i>=0;i--) {
39         if(d[fa[x][i]]>=d[y]) x=fa[x][i];
40         if(x==y) return x;
41     }
42     for(int i=20;i>=0;i--) {
43         if(fa[x][i]!=fa[y][i]) {
44             x=fa[x][i];
45             y=fa[y][i];
46         }
47     }
48     return fa[x][0];
49 }
50 int calc(int u,int f) {
51     for(int i=head[u];i;i=a[i].next) {
52         int v=a[i].to;
53         if(v==f) continue ;
54         tot[u]+=calc(v,u);
55     }
56     return tot[u];
57 }
58 int main() {
59     n=read(); m=read();
60     for(int i=1;i<n;i++) {
61         int x=read(),y=read();
62         add(x,y);
63         add(y,x);
64     }
65     dfs(1,0);
66     for(int i=1;i<=m;i++) {
67         int x=read(),y=read();
68         tot[x]++;
69         tot[y]++;
70         tot[lca(x,y)]-=2;
71     }
72     calc(1,0);
73     int ans=0;
74     for(int i=1;i<=n;i++) {
75         if(tot[i]==0&&i!=1) ans+=m;
76         if(tot[i]==1) ans++;
77     }
78     printf("%d\n",ans);
79     return 0;
80 }

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