0x40二分法

Posted 2021-11-26 clarencezzh

二分模板一共有两个，分别适用于不同情况。
算法思路：假设目标值在闭区间[l, r]中， 每次将区间长度缩小一半，当l = r时，我们就找到了目标值。

版本1

在单调递增序列a中查找>=x的数中最小的一个（即x或x的后继）

当我们将区间[l, r]划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时，其更新操作是r = mid或者l = mid + 1;，计算mid时不需要加1。

C++ 代码模板：

int bsearch_1(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid)) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return l;
}
版本2

在单调递增序列a中查找<=x的数中最大的一个（即x或x的前驱）

当我们将区间[l, r]划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时，其更新操作是r = mid - 1或者l = mid;，此时为了防止死循环，计算mid时需要加1。

C++ 代码模板：

int bsearch_2(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (check(mid)) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return l;
}

 二分答案转化为判定

一个宏观的最优化问题也可以抽象为函数，其“定义域”是该问题下的可行方案，对这些可行方案进行评估得到的数值构成函数的“值域”，最优解就是评估值最优的最优解就是评估值最优的方案(不妨设评分越高越优)。假设最优解的评分是S，显然对于任何x>S，都不存在一个合法的方案达到x分，否则就与S的最优性矛盾:而对于任何x≤S，一定存在一个合法的方案达到或超过x分，因为最优解就满足这个条件。这样问题的值域就具有一种特殊的单调性，在S的一侧合法、在S的另一侧不合法，就像一个在(-∞，s]上值为1，在(S,+∞]上值为0的分段函数，可通过二分找到这个分界点S。借助二分，我们把求最优解的问题，转化为给定一个值mid，判定是否存在一个可行方案评分达到mid的问题。接下来我们通过一个经典的例子理解上述概念。

有N本书排成一行，已知第i本的厚度是Ai把它们分成连续的M组，使T最小化，其中T表示厚度之和最大的一组的厚度。题目描述中出现了类似于“最大值最小”的含义，这是答案具有单调性，可用二分转化为判定的最常见、最典型的特征之一。如果我们以“把书划分为M组的方案”作为定义域，“厚度之和最大的一组的厚度”作为评分(即值域)，需要最小化这个厚度值，也就是评分越小越优。相应地，假设最终答案为S，因为S的最优性，如果要求每组的厚度都<S，那么这M组一定不能容纳这些书，可能需要更多的组才能把书分完，也就意味着对于本题的限制条件不存在可行的分书方案。如果每组的厚度可以>S那么一定存在一种分书方案使得组数不会超过M。最优解就处于分书可行性的分界点。