线性筛及其扩展-积性函数

Posted 2021-11-26 shjrd-dlb

• 线性筛
  • 埃氏筛
    • 对于每个数x，枚举其倍数，将kx筛去。
    • 在埃氏筛过程中，每个数都会被筛掉多次，且对于每个数x，枚举其倍数的次数为\(\frac{n}{x}\)
    • 故埃氏筛的时间复杂度为\(\sum_{i=1}^{n}\)\(\frac{n}{i}\)=n\(\sum_{i=1}^{n}\)\(\frac{1}{i}\)=\(n ln(n)\)
  • 欧拉筛
    • 在埃氏筛中，每个数会被筛掉多次，想要进一步下降复杂度，我们要求每个数只会被筛一次。
    • 要想将多种筛去x的方法固定（唯一）。我们就要采用一种方法—“最小表示法”，套用在这里就是每个数被自己的最小质因子筛去。
    • 首先，为了优化时间复杂度，我们不难发现，并不需要对每个x，把每个x的所有倍数都筛一遍，只需要将\(pri_k\)x，(\(pri_k \leq x\))筛去即可。
      • 证明：
      • 一个数x要被筛去，x必然是合数，x=ab，（a<b<c) ，令a为质数，当我们用b筛时，一定能够筛去x=ab。
    • 然后我们要求每个数都被自己最小质因数筛去，则当我们用b筛时，设b的最小质因子为\(pri_b\)，对于\(pri_i \leq pri_b\)，我们筛掉\(pri_i b\)就是被自己的最小值因数\(pri_i\)筛去。
• 常见积性函数
  • 欧拉函数（\(\varphi(x)\))
    • \(\varphi(x)\)为积性函数
    • \(\varphi(x)\)的两种计算式：
      • \(\varphi(x)\) = \(\varphi(a)\) . \(\varphi(b)\) (a,b互质)
      • \(\varphi(x)\) = x \(\prod_{i=1}^{k}\) (1-\(\frac{1}{p_i}\))
  • 套用欧拉筛筛法，每个数都被自己最小质因子筛去，就有两种情况：
    • 该数最小质因子pri的次数为1，即x=pri\(\sum_{i=2}^{k}pi^{ri}\)
      • 直接套用积性函数的定义式\(\varphi(x)\) = \(\varphi(pri).\varphi(\) \(\frac{x}{pri})\) (pri与\(\frac{x}{pri}\)互质)
    • 该数最小质因子pri的次数>1，即x= \(pri^{r_1} * \sum_{i=2}^{k} pi^{ri}\)
      • 由\(\varphi(x)\)的定义式知\(\varphi(x) = x \prod_{i=1}^{k} (1- \frac{1}{pi})\)
      • \(\frac{x}{pri}\)与x没有增加额外的质因子
      • 所以 \(\varphi(x) = pri * \frac{x}{pri} \prod_{i=1}^{k}(1- \frac{1}{pi})\) = \(pri *\varphi (\frac{x}{pri})\)
  • 代码
• 莫比乌斯函数\(\mu(x)\)
  • \(\mu(x)\)定义式: \(\mu(x)\) = {}
  • \(\mu(x)\) =\(\mu(a)\)*\(\mu(b)\) (a,b互质)
  • 套用欧拉筛筛法
    • 当该数最小质因子pri，次数为1，同\(\varphi(x)\), \(\mu(x)\) =\(\mu(pri)\) . $\mu( $ \(\frac{x}{pri}\))
    • 当该数最小质因子pri，次数>1， \(\mu(x)\) = 0