拉格朗日反演证明

Posted 2021-11-25 judge

感谢 BZT 大仙的细心指导： →_→

求函数 G 满足：

\\[G(F(x))=x\\]

其中 G 和 F 都要满足常数项为 0 且 1 次项不为 0

设 \\(G(x)=\\sum_{i>=1} a_i x^i\\)

那么原式就是：

\\[\\sum_{i=1}^\\infty a_i F^i(x)=x\\]

然后我们两边取导：

\\[\\sum_{i=1}^\\infty i·a_i F^{i-1}(x) F'(x)= 1 \\]

然后左右除去 \\(F^n(x)\\) ：

\\[\\sum_{i=0}^{\\infty}i·a_i F^{i-n-1}(x) F'(x)={1\\over F^n(x)}\\]

两边取 x 的 -1 次项：

\\[[x^{-1}]\\sum_{i=0}^{\\infty}i·a_i F^{i-n-1}(x) F'(x) =[x^{-1}]{1\\over F^n(x)}\\]

这时候我们江 i 不等于 n 的情况讨论一下：

\\[F^{i-n-1}(x)F'(x)={1\\over i-n} (F^{i-n}(x))'\\]

这里我们从右往左推就好了，用链式法则

然后我们发现一个多项式求导后的 -1 次项系数为 0 ，就不用考虑了

对于 i=n 的情况：

\\[F^{-1}(x)F'(x)={a_1+2a_2x+2a_3x^2+...\\over a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...}\\]

\\[={a_1+2a_2x+2a_3x^2+...\\over a_1x}·{1\\over 1+{a_2\\over a_1}x+{a_3\\over a_1}x^2+...}\\]

后面的多项式常数项为 1，可逆，逆完之后常数项还是 1， 那么前面的式子中 x 的 -1 次项系数为 1

那么原来的式子就是：

\\[a_n = [x^{-1}] {1\\over F^n(x)} \\]

那么这也就证明出了拉格朗日反演中的定理：

\\[[x^n] G(x) = [x^{-1}] {1\\over n} {1\\over F^n(x) }\\]

然后我们让 f(x) 表示 F(x) 除去 x 后的多项式，那么原本的答案就是：

\\[[x^n] G(x) = [x^{n-1}] {1\\over n} {1\\over f^n(x) }\\]

然后我也不知道这玩意儿为什么是对的，反正这样的情况下我们就可以 \\(O(n log n)\\) 求解（多项式快速幂+多项式求逆）了