高斯消元

Posted 2021-11-25 lm-lbg

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3389

高斯消元用来解决n元一次方程组，复杂度为n ^ 3

流程和初中学的那个加减消元法差不多

首先我们存储方程的各项系数（就相当于把向量存下来）

然后我们依次消去每项，具体的，把每次没有消掉的那一项（设为k）的系数最大值的那个方程的系数变为1，然后用这个方程的系数依次减去每个方程，让其他方程的k的系数为0

做到最后，你就获得了一个右上角矩阵，解出最低下的一项，依次回代即可

几个细节：

1.取系数最大值是为了防止精度误差

2.无解的情况就是一个方程的未知数系数为0但结果不为0；多解就是像00000这样的一列有多个

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<map>
#include<cmath>
using namespace std;
inline int read()
{
    int ans = 0,op = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘)
    {
        if(ch == ‘-‘) op = -1;
        ch = getchar();
    }
    while(ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘)
    {
        (ans *= 10) += ch - ‘0‘;
        ch = getchar();
    }
    return ans * op;
}
#define db double
const db eps = 1e-7;
const int maxn = 101;
db mp[maxn][maxn],ans[maxn];
int n;
void gauss(int i)
{
    int t = i;
    for(int j = i + 1;j <= n;j++)
        if(fabs(mp[t][i]) < fabs(mp[j][i])) t = j;    
    if(fabs(mp[t][i]) < eps)
    {
        printf("No Solution");
        exit(0);
    }
    if(i != t) swap(mp[i],mp[t]);
    db div = mp[i][i];
    for(int j = i;j <= n + 1;j++)
        mp[i][j] /= div;
    for(int j = i + 1;j <= n;j++)
    {
        div = mp[j][i];
        for(int k = i;k <= n + 1;k++)
            mp[j][k] -= div * mp[i][k];
    }
}
int main()
{
    n = read();
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        for(int j = 1;j <= n + 1;j++)
            scanf("%lf",&mp[i][j]);
    for(int i = 1;i <= n;i++) gauss(i);
    ans[n] = mp[n][n + 1];
    for(int i = n - 1;i >= 1;i--)
    {
        ans[i] = mp[i][n + 1];
        for(int j = i + 1;j <= n;j++) ans[i] -= mp[i][j] * ans[j];
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++) printf("%.2lf\n",ans[i]);
}

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