阶梯Nim问题

Posted 2021-11-25 nublity

问题形式

　　
　　有n个位置1...n，每个位置上有ai个石子。有两个人轮流操作。操作步骤是：挑选1...n中任一一个存在石子的位置i，将至少1个石子移动至i−1位置（也就是最后所有石子都堆在在0这个位置）。谁不能操作谁输。求先手必胜还是必败。
　　　　

结论

　　
　　问题等价于，求位置为奇数的ai的异或和，若异或和等于0，则先手必败，否则先手必胜。你可能已经注意到这非常像Nim游戏。其实这个游戏恰好等价于：将每个奇数位置的数x看成一堆有x个石子的石子堆，然后玩Nim游戏。
　　

证明

　　
　　拿走某一堆石子的一部分，相当于将某个奇位置的石子移动到它左边的偶位置上。
　　
　　如果大家都只动奇位置的石子，那么这等价于两人在玩Nim游戏。
　　
　　但如果有人想打破规则呢？
　　
　　假设Nim游戏先手必胜，那么先手肯定优先玩Nim游戏；如果后手试图破坏局面，将某个偶位置上的若干石子移动到了左边的奇位置i上，那么先手可以将这若干个刚移到i的石子继续移动到i左边的偶位置上，对Nim局面依然没有任何影响，除非后手回头来继续动奇位置的石子，那也只能是输。
　　
　　那么如果Nim游戏先手必败，也是同理，后手可以用相同的方式迫使先手玩Nim游戏，直到输为止。
　　
　　因此，奇数位置的石子的相关信息，就直接决定了阶梯Nim问题的结果。

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