优先队列(堆)·二项队列

Posted 2021-11-25 dhcao

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了优先队列(堆)·二项队列相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

一、定义
二、结构
三、操作
- 3.1、合并
- 3.1、删除最小值（deleteMin）
四、二项队列的实现
代码地址

一、定义

? 我们知道，左式堆每次操作的时间界是\$O(logN)\$。二项队列支持合并、插入、删除最小值，每次插入的平均时间为常数时间，而最坏时间是\$O(logN)\$。

? 二项队列：

不是一棵堆序的树，而是堆序的树的集合，成为森林。
森林的每棵树都是二项树(binomial tree)。
每个高度上至多存在一棵二项树。

二、结构

? 结构图解：
技术图片

高度为0的二项树是一棵单节点树，例如B0。

高度为k的二项树\$B_k\$通过将一棵二项树\$B_{k-1}\$附接到另一棵二项树\$B_{k-1}\$的根上而构成。

? 结构描述：如上图

? 二项树\$B_{k}\$由一个带有儿子\$B_{0}\$，\$B_{1}\$，\$B_{2}\$，…，\$B_{k-1}\$的根组成！高度为k的二项树恰好有\$2^k\$个节点，而在深度\$d\$处的节点数是二项系数\$\\binom{k}{n}\$。如果我们把堆序施加到二项树上并允许任意高度最多一棵二项树，那么就能够用二项树的集合表示任意大小的优先队列。例如大小为13的优先队列可以用森林\$B_3\$，\$B_2\$，\$B_0\$表示。可以记作1101，它不仅使用二进制表示了13的大小，而且也表达了这样的事实：在上述表示中，\$B_3\$，\$B_2\$，\$B_0\$出现，而\$B_1\$没有。

二项树组成的森林根二进制的关系：

数字13：森林表示为\$B_3\$，\$B_2\$，\$B_0\$；二进制记录为1101。

数字10：森林表示为\$B_3\$，\$B_1\$；二进制记录为1010。

三、操作

? 二项队列中，最小元可以通过森林中所有的的树的根来找出。由于最多有\$logN\$棵不同的树，因此找到最小元的时间可以为\$O(logN)\$。如果我们记住最小元，并且在每次操作时更新它，那么可以直接操作最小元，时间为\$N\$。

3.1、合并

? 合并两个二项队列在概念上是一个容易的操作。如下合并H1和H2。

? 合并图解：
技术图片

令\$H_3\$是新的二项队列，由于\$H_1\$没有高度为0的树而\$H_2\$有，我们让\$H_2\$中高度为0的树作为\$H_3\$的一部分。然后将两个高度为1的二项树相加。
将\$H_1\$和\$H_2\$的高度为1的二项树相加，让大的根成为小的根的子树，从而建立高度为2的二项树。
现在存在3棵高度为2的树，我们将合并其中2棵树，建立高度为3的二项树，这样，就只存在一棵高度为2，一棵高度为3，一棵高度为0的树组成的森林。

合并分析

? 几乎使用任意合理的实现方法合并2棵树均花费常数时间，而总共存在\$O(lonN)\$棵二项树，因此合并操作的最坏情形时间\$O(logN)\$。

关于时间界\$O(logN)\$

在N个节点组成的二项队列森林中，每个高度有且只有一棵树，很明显，高度\$h = logN\$，而合并操作本身花费常数时间，总个数\$O(logN)\$。很容得到以上时间界。

? 关于插入，插入其实就是合并一棵高度为0的二项树。关于插入的合并次数，如果元素将要插入的那个优先队列中不存在的最小二项树是\$B_i\$，那么运行时间与\$(i+1)\$成正比。

关于插入的时间界：

为什么是\$(i+1)\$的正比呢。假设：那么插入一个元素当作合并一个高度为0的二项树，记作\$C_0\$；

\$i = 1\$：森林中不存在\$B_1\$，那么最小树则是\$B_0\$，那么只需要合并\$B_0\$和\$C_0\$就能得到一棵高度为1的树，作为\$B_1\$。

\$i = 2\$：森林中不存在$B_2 \$，那么最小树则是\$B_1 \$，第一次发生在\$B_0\$和\$C_0\$，得到\$C_1\$。第二次合并发生在\$B_1\$和\$C_1\$，得到\$B_2$。

依次类推，我们可以知道\$i\$就是需要合并的次数。而1是插入时间。得到上述时间描述。

3.1、删除最小值（deleteMin）

? 由于我们的二项队列中所有的二项树，均是堆序的。所以我们只需要比较所有树的根节点，就能找到最小值。关键在于，我们删除一棵高度为\$k\$的树的根节点，那么棵树会降级为多棵树，此时会打乱森林的顺序，我们需要重新整理森林里的树，重新得到二项队列。

? 删除图解：
技术图片

删除二项队列H3中的最小值12，那么由H3解体得到\$H3-2\$，和原来的高度为0和1的树得到的\$H3-2\$。
得到2个二项队列：\$H3-1\$，\$H3-2\$。现在要做的就是将这个队列合并。
根据上文的合并法则，得到\$H4\$。
删除最小值本质上就是组建二项堆+合并二项堆。所以时间界依然是\$O(logN)\$。

关于这个时间界：

我们知道只要量级为改变，在大O模型中单纯的加减是不会影响我们对于时间算法的估计的。