纪中集训2019.3.29整除分块

Posted 2021-11-25 paul-guderian

题目

描述

? 本题的背景是整除分块；

? 定义一个数列$a_{n,i} ? = ?\\lfloor \\frac{n}{i} \\rfloor $ ;

? 求$\\sum_{i=l}^{r} mex(a_n) $ ;

? 其中\\(mex\\)表示序列中最小的没有出现过的自然数；

? 答案对\\(998244353\\)取模 ；

范围

? \\(1 \\le T \\le 65536 \\ , \\ 1 \\le l ,r \\le 10^{36}\\) ；

? 评测系统支持使用 $ _ _ int218 $ ，但是不能直接读入输出，需要你手写 $ IO $ ；

题解

• Part 1

• 如果你写过整除分块，根据整除分块的写法基础，\\(i\\)在\\(a_n\\)中不出现的充要条件是：
  \\[ \\begin{align} \\lfloor \\frac{n}{\\lfloor \\frac{n}{i} \\rfloor} \\rfloor \\neq i \\\\ \\lfloor \\frac{n}{\\lfloor \\frac{n}{i} \\rfloor} \\rfloor \\ge i+1 \\ \\frac{n}{\\lfloor \\frac{n}{i} \\rfloor} \\ge i +1 \\ \\frac{n}{i+1} \\ge \\lfloor \\frac{n}{i} \\rfloor \\\\\\ 令： \\lfloor \\frac{n}{i} \\rfloor = a \\结合上面的推导，根据定义有：\\\\\\ a(i+1) \\le n \\lt i(a+1) \\且在 0 \\le a \\lt i 时有意义； \\end{align} \\]

• 意思是我们得到了关于不出现\\(i\\)的关于\\(n\\)的区间，记这样子的区间为\\(S(i,a)\\)；

• Part 2

• 观察式子的左右两边，可以得到\\(S(i+1,a-1)\\)和\\(S(i,a)\\)可以拼接，推广得在同一副对角线上的区间连续：

• 即这样的形式：

• 

• 记以\\(S(i,0)\\)开头的对角线标号为\\(i\\)，按照标号，从小到大考虑每一条跳条对角线；

• 注意到\\(|S(i,a)| = i(a+1) - a(i+1) = i - a\\)；

• 所以有:第\\(i\\)条线不会影响第\\(1 \\to i-1\\)条线已经覆盖的区间的答案；

• 发现多出来的区间长度依次是:$1 ?1 ?2 ?2 ?3 ?3 ? ? \\cdots ? ? i ? i \\cdots $ ;

• 容易发现每一次的段都是从后往前看都是一个连续增大的数列(相邻差最大为1)；

• 对于第\\(2i\\)个多出来的区间，从后往前第一小段的长度为2，值为\\(i\\)，以后值+1，长度+2，直到总长度为\\(i\\)；

• 对于第\\(2i-1\\)个多出来的区间，从后往前第一小段的长度为1，值为\\(i\\)，以后值+1，长度+2，直到总长度为\\(i\\)；

• Part 3

• 可以通过打表直接到\\(Part \\ 3\\)；

• 分奇数段和偶数段求和，最后再删去剩下的一小段：

• 对于奇数段：
  \\[ \\begin{align} &= \\sum_{i=1}^{l}\\sum_{j=1}^{i} i + \\sqrt{j-1} = \\sum_{i=1}^{l} i^2 +\\sum_{i=1}^{l} \\sum_{j=1}^{i} \\sqrt{j-1} \\\\to &\\sum_{i=1}^{l} \\sum_{j=1}^{i} \\sqrt{j-1}= \\sum_{j=1}^{l}\\sqrt{j-1}(l-j+1)\\&=\\sum_{j=1}^{l}(l-j+1) \\sum_{k=1}[k^2<j]= \\sum_{k=1}^{k^2<l}\\sum_{j=1}^{l-k^2}j\\&直接运用等差数列求和再预处理次方和即可求得答案； \\end{align} \\]

• 对于偶数段，可以不用求出\\(k^2+k\\)的逆，可以在奇数段的推导上直接得出：
  \\[ \\begin{align} &\\sum_{k=1}^{k^2+k<l}\\sum_{j=1}^{l-k^2-k}j \\end{align} \\]

  //__int128真不是好东西，不仅不能直接读入开根还要炸精度！！！ 
  #include<bits/stdc++.h>
  #define mod 998244353
  #define eps 1e-9
  #define ll __int128
  #define ld long double
  #define il inline 
  using namespace std;
  ll n,iv2,iv4,iv6,iv30;
  il char gc(){
    static char*p1,*p2,s[1000000];
    if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
    return(p1==p2)?EOF:*p1++;
  }
  il ll rd(){
    ll x=0;char c=gc();
    while(c<'0'||c>'9')c=gc();
    while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0',c=gc();
    return x;
  }
  char ps[1000000],*pp=ps;
  il void push(char x){
    if(pp==ps+1000000)fwrite(ps,1,1000000,stdout),pp=ps;
    *pp++=x;
  }
  il void print(ll x){
    static int sta[100],top;
    if(!x){push('0'),push('\\n');return;}
    while(x)sta[++top]=x%10,x/=10;
    while(top)push(sta[top--]^'0');
    push('\\n');
  }
  il void flush(){fwrite(ps,1,pp-ps,stdout);}
  il ll pw(ll x,ll y){
    ll re=1;
    while(y){
        if(y&1)re=re*x%mod;
        y>>=1;x=x*x%mod;
    }
    return re;
  }
  il void inc(ll&x,ll y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
  il void dec(ll&x,ll y){x-=y;if(x<0)x+=mod;}
  il ll get1(ll n){
    //return floor(sqrt((ld)1.0*n)+eps);
    ll re=floor(sqrt((ld)1.0*n)+eps);
    while(re*re>=n)re--;
    return re;
  }
  il ll get2(ll n){
    //return floor((sqrt((ld)4.0*n-3)-1)/2+eps);
    ll re=floor((sqrt((ld)4.0*n-3)-1)/2+eps);
    while(re*re+re>=n)re--;
    return re;
  }
  il ll cal1(ll n){n%=mod;return n*(n+1)%mod*iv2%mod;}
  il ll cal2(ll n){n%=mod;return n*(n+1)%mod*(2*n+1)%mod*iv6%mod;}
  il ll cal3(ll n){n%=mod;return n*(n+1)%mod*n%mod*(n+1)%mod*iv4%mod;}
  il ll cal4(ll n){n%=mod;return n*(n+1)%mod*(2*n+1)%mod*(3ll*n*n%mod+3*n%mod+mod-1)%mod*iv30%mod;}
  il ll solve1(ll l){
    ll n=get1(l),re=0;
    inc(re,(n%mod)*(l%mod)%mod*(l%mod+1)%mod);
    dec(re,(2*(l%mod)+1)*cal2(n)%mod);
    inc(re,cal4(n));
    re=(re*iv2%mod+cal2(l)-1)%mod; 
    return re;
  }
  il ll solve2(ll l){
    ll n=get2(l),re=0;
    inc(re,(n%mod)*(l%mod)%mod*(l%mod+1)%mod);
    dec(re,(2*(l%mod)+1)*cal1(n)%mod);
    dec(re,2*l*cal2(n)%mod);
    inc(re,2*cal3(n)%mod);
    inc(re,cal4(n)%mod);
    re=((re*iv2%mod+cal2(l))%mod+cal1(l))%mod;
    return re;
  }
  il ll solve3(ll l,ll n){
    ll m=get1(n),re=(n%mod)*(l%mod)%mod;
    inc(re,(m%mod)*(n%mod)%mod);
    dec(re,cal2(m));
    return re;
  }
  il ll solve4(ll l,ll n){
    ll m=get2(n),re=(n%mod)*((l%mod)+1)%mod;
    inc(re,(m%mod)*(n%mod)%mod);
    dec(re,cal2(m));
    dec(re,cal1(m));
    return re;
  }
  il ll solve(ll n){
    ll l=get2(n+1)+1,m=l*(l+1)-1,re=0;
    inc(re,solve1(l));
    inc(re,solve2(l));
    if(m>n)dec(re,solve4(l,min(l,m-n)));
    if(m-l>n)dec(re,solve3(l,min(l,m-n-l)));
    return re;
  }
  int main(){
    freopen("mex.in","r",stdin);
    freopen("mex.out","w",stdout);
    iv2=pw(2,mod-2);iv4=pw(4,mod-2);
    iv6=pw(6,mod-2);iv30=pw(30,mod-2);
    ll C=rd(),T=rd();
    while(T--){
        ll l=rd(),r=rd();
        ll ans=(solve(r)-solve(l-1)+mod)%mod;
        print(ans);
    }
    flush();
    return 0;
  }