hdu 1792 A New Change Problem(互质数之间最大不能组合数和不能组合数的个数)

Posted 2021-11-25 destinhistoire

 

 

 

题意:求互质的m和n的最大不能组合数和不能组合数的个数

思路:m和n的最大不能组合数为m*n-m-n，不能组合数的个数为(m-1)*(n-1)/2

推导:

　　先讨论最大不能组合数

　　因为gcd(m,n)=1,所以 0,n,2*n,3*n,...(m-1)*n(共m个数字)分别除以m，余数肯定不同，且为{0,1,2,3...m-1}中的某数

　　若存在非负数p，q使得pm+qn=x,x为可组合值，两边对m取余，则(q*n)%m==x%m,p*m>=0，所以只要x>q*n，x都能被组合出来。当q<m时，能出现所有余数，所以当x>=(m-1)*n时，x必定可被组合。

　　从(m-1)*n往下寻找，第二大的q*n为(m-2)*n=(m-1)*n-n,不妨令m<n。只要比(m-1)*n-n大且不与(m-1)*n同余的数字都符合要求，即(m-1)*n,(m-1)*n-1,...(m-1)*n-(m-1),都符合要求，只有(m-1)*n-m>(m-2)*n，且同余，在m>n的情况下，由于对于q*n相邻m-1个必定不同余，所以结果一样。

　　所以最大的不符合数是(m-1)*n-m，即m*n-n-m

　　再讨论不符合要求的方案数

　　从大到小讨论q*n(m>n)

　　①对于(m-1)*n，不符合要求的是比(m-1)*n小且与它同余的数，就是(m-1)*n-m,(m-1)*n-2*m...　　

　　②对于(m-2)*n，不符合要求的是(m-2)*n-m,(m-2)*n-2*m...

　　③对于n，不符合要求的就是，n-m..

　　所以ans=n/m+(2*n)/m+(3*n)/m...+((m-1)*n)/m=(m-1)*(n-1)/2   　

　　对于n*m/m=n，这个是整除的，所以(i*n+(m-i)*n)/m=n

　　由于i*n/m必定不整除，所以i*n%m+(m-i)*n%m=m;

　　因而(i*n)/m+((m-i)*n)/m=n-1，得出:ans=n/m+(2*n)/m+...((m-1)*n)/m=(n/m+(m-1)*n/m)+(2*n/m+(m-2)*n/m)+...=(n-1)*(m-1)/2

标准程序

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 int main()
 4 {
 5     int m,n;
 6     while(cin>>m>>n)
 7     {
 8         cout<<m*n-m-n<<" "<<(m-1)*(n-1)/2<<endl;
 9     }
10     return 0;
11 }