loj6074 子序列

Posted 2021-11-22 wxyww

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思路

首先考虑暴力\(dp\)

用\(f[i][j]\)表示前\(i\)个字符,以\(j\)这个字符结尾的本质不同的字符串个数。

然后就有如下的转移

\(if(s_i==j)\)
\[f_{ij}=\sum\limits_{i=1}^9f_{i-1j} + 1\]
\(else\)
\[f_{ij}=f_{i-1j}\]

然后就尝试一下用矩阵转移

对于第\(i\)位置，设一个\(10 \times 10\)的单位矩阵，将\(s_i\)这一列全都是\(1\)。

为什么是\(10 \times 10\)而不是\(9\times9\)呢？

因为第一个转移里面有个\(+1\)

然后对于每次询问，都将初始的\(1 \times 10\)的矩阵的第\(s_{l-1}\)位和第\(10\)位设成\(1\)，其他的都是\(0\)。

然后依次乘上\(l\)~\(r\)的矩阵即可。

然后优化

可以发现，用矩阵转移更慢了。

别慌，我们只要想办法快速的将\(l\)~\(r\)内的矩阵乘起来不就行了。

对于这\(n\)个矩阵先处理一个前缀和。然后只要用前\(r\)个矩阵去除以前\(l - 1\)个矩阵就行了。

怎么除呢？？

我们把每个矩阵的逆矩阵也求个前缀和就行了。

PS： 矩阵乘法不满足交换律，注意矩阵相乘的顺序。

代码

/* @Author: wxyww
* @Date:   2019-03-28 20:43:54
* @Last Modified time: 2019-03-29 13:53:49
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100010,mod = 1e9 + 7;
ll read() {
    ll x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {
        if(c=='-') f=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9') {
        x=x*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return x*f;
}
struct node {
    int a[11][11];
    int n,m;
    node() {
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    node(int x) {
        n = m = x;
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i = 1;i <= x;++i) a[i][i] = 1;
    }
    node(int x,int y) {
        n = x,m = y;
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
}tmp1[N],tmp2[N];
char S[N];
int n,s[N];
node operator * (const node &A,const node &B) {
    int n = A.n,m = B.n,K = A.m;
    node ret(n,m);
    for(int k = 1;k <= K;++k) {
        for(int i = 1;i <= n;++i) {
            for(int j = 1;j <= m;++j) {
                ret.a[i][j] += 1ll * A.a[i][k] * B.a[k][j] % mod;
                ret.a[i][j] %= mod;
            }
        }
    }
    return ret;
}
void pre() {
    tmp1[0] = tmp2[0] = node(10);
    for(int i = 1;i <= n;++i) {
        int k = s[i];
        tmp1[i] = tmp2[i] = node(10);
        for(int j = 1;j <= 10;++j) tmp1[i].a[j][k] = 1,tmp2[i].a[j][k] = mod - 1;
        tmp2[i].a[k][k] = 1;
        tmp1[i] = tmp1[i] * tmp1[i - 1];
        tmp2[i] = tmp2[i - 1] * tmp2[i];
    }
}
int main() {
    scanf("%s",S + 1);
    n = strlen(S + 1);
    for(int i = 1;i <= n;++i) s[i] = S[i] - 'a' + 1;
    pre();
    int m = read();
    while(m--) {
        node ans(1,10);
        int l = read(),r = read();
        ans.a[1][10] = 1;
        ans = ans * tmp1[r] * tmp2[l - 1];
        int anss = 0;
        for(int i = 1;i <= 9;++i) anss += ans.a[1][i],anss %= mod;
        printf("%d\n",anss);
    }
    return 0;
}

*/