笛卡尔树

Posted 2021-11-22 hocriser

笛卡尔树的节点具有两个属性：键值与权值。

中序遍历每个节点，则其键值递增。任意一个父亲的权值都一定大于（小于）其儿子的权值。

由此可知，笛卡尔树的键值具有二叉搜索树的性质，权值具有堆的性质。Treap就是实现了一棵笛卡尔树。

笛卡尔树一般是根据序列建立的，一般以序列下标为键值，序列中的数为权值。

它的建立与虚树相似，从左到右将序列中的点依次插入树中，维护树的右链即可轻松实现。

一般来说，笛卡尔树中的一个点代表的是一段位置，这段位置就是中序遍历这个点的子树得到的那段连续区间（下面叫它管辖范围），在DP中也可能代表当前这个位置所在的极大矩形。

下面是几个简单的应用：

 

1.[POJ2559]Largest Rectangle in a Histogram

给一张图求出其中最大的矩形。

这是一道单调栈模板题，考虑笛卡尔树的做法。

注意到答案就是每个点的管辖范围宽度乘上这个点的权值h[]。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
 4 typedef long long ll;
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int N=100010;
 8 ll ans;
 9 int n,top,rt,a[N],w[N],stk[N],son[N][2];
10 
11 void dfs(int x,int L,int R){
12     w[x]=R-L+1; ans=max(ans,1ll*w[x]*a[x]);
13     if (son[x][0]) dfs(son[x][0],L,x-1);
14     if (son[x][1]) dfs(son[x][1],x+1,R);
15 }
16 
17 int main(){
18     freopen("poj2559.in","r",stdin);
19     freopen("poj2559.out","w",stdout);
20     while (scanf("%d",&n),n){
21         rep(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
22         top=0;
23         rep(i,1,n) son[i][0]=son[i][1]=0;
24         rep(i,1,n){
25             while (top && a[stk[top]]>a[i]) son[i][0]=stk[top--];
26             if (top) son[stk[top]][1]=i;
27             stk[++top]=i;
28         }
29         rt=stk[1]; ans=0; dfs(rt,1,n); printf("%lld\n",ans);
30     }
31     return 0;
32 }

POJ2559