HDU-1024题解（状态转移+最大连续子段和）

Posted 2021-11-10 mingusu

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1024

Problem Description

Now I think you have got an AC in Ignatius.L‘s "Max Sum" problem. To be a brave ACMer, we always challenge ourselves to more difficult problems. Now you are faced with a more difficult problem.
Given a consecutive number sequence S₁, S₂, S₃, S₄ ... S_x, ... S_n (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ S_x ≤ 32767). We define a function sum(i, j) = S_i + ... + S_j (1 ≤ i ≤ j ≤ n).
Now given an integer m (m > 0), your task is to find m pairs of i and j which make sum(i₁, j₁) + sum(i₂, j₂) + sum(i₃, j₃) + ... + sum(i_m, j_m) maximal (i_x ≤ i_y ≤ j_x or i_x ≤ j_y ≤ j_x is not allowed).
But I`m lazy, I don‘t want to write a special-judge module, so you don‘t have to output m pairs of i and j, just output the maximal summation of sum(i_x, j_x)(1 ≤ x ≤ m) instead. ^_^

Input

Each test case will begin with two integers m and n, followed by n integers S₁, S₂, S₃ ... S_n.
Process to the end of file.

Output

Output the maximal summation described above in one line.

Sample Input

1 3 1 2 3 2 6 -1 4 -2 3 -2 3

题意：给你一个长度为n的序列，让你求出最大m个字段的序列元素和

初步思路：动态规划最大m字段和,dp数组，dp[i][j]表示以a[j]结尾的，i个字段的最大和

两种情况：1.第a[j]元素单独作为第i个字段
2.第a[j]元素和前面的字段共同当做第i个字段

得到状态转移方程：dp[i][j]=max( dp[i][j-1]+a[j] , max(dp[i-1][t])+a[j]);
但是实际情况是，时间复杂度和空间复杂度都是相当的高，所以要进行时间和空间的优化：
将每次遍历的时候的max(dp[i-1][t]) 用一个数组d储存起来，这样就能省去寻找max(dp[i-1][t])的时间，
这样状态转移方程就变成了 dp[i][j]=max( dp[i][j-1]+a[j] , d[j-1]+a[j]), 会发现dp数组的可以
省去一维，因为每次都是和前一次的状态有关，所以可以记录前一次状态,再用一个变量tmp记录下dp[i][j-1]，
这样方程就变成了 dp[i][j]=max( tmp+a[j] , d[j-1]+a[j])；这样就可以化简一下就是：dp[i][j]=
max( tmp , d[j-1])+a[j];

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define N 1000005
 3 using namespace std;
 4 int a[N];
 5 int n,m;
 6 int d[N];//用来存储j-1的位置用来存储 max(dp[i-1][t])
 7 int main(){
 8     // freopen("in.txt","r",stdin);
 9     while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF){
10         memset(d,0,sizeof d);
11         for(int i=1;i<=n;i++){
12             scanf("%d",&a[i]);
13         }
14         /*
15             dp[i][j]=max( dp[i][j-1]+a[j] , max(dp[i-1][t])+a[j])
16         */
17         for(int i=1;i<=m;i++){//遍历字段
18             int tmp = 0;//用来记录dp[i-1][j]
19             for(int k = 1; k <= i; ++k)
20                 tmp += a[k];
21             //由于d[n]的位置是永远都用不到的，所以就用来存储最后的姐
22             d[n] = tmp;//前面的i项，每项都是一个段的时候
23             
24             for(int j = i+1; j <= n; ++j)
25             {
26                 tmp = max(d[j-1], tmp) + a[j]; //a[j]单独作为一个段的情况 和 前面的max(dp[i-1][t])
27 
28                 d[j-1] = d[n];//将这个值保存下来
29 
30                 d[n] = max(d[n], tmp); //比较大小方便答案的输出
31             }
32         }
33         printf("%d\n",d[n]);
34     }
35     return 0;
36 }

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还可以通过填表梳理一下思路哦！（上三角形的表格）