第01讲 行图像和列图像

Posted 2021-11-10 vincent1997

第01讲 行图像和列图像 Row picture & Column picture

线性方程的集合图像 The geometry of linear equations

线性代数的基本问题是解n元一次方程组Ax=b。

行图像 Row Picture

行图像代表几何描述

列图像 Column Picture

列图像代表线性组合

对于所有的b，方程Ax=b都有解？问题等价于列向量的线性组合是否覆盖整个空间？

矩阵与向量的乘法

列图像：Ax是矩阵A列向量的线性组合

\\[ \\left[ \\begin{matrix} 2 & 5 \\\\ 1 & 3 \\end{matrix} \\right]\\left[ \\begin{matrix} 1 \\\\ 2 \\end{matrix} \\right]=1\\left[ \\begin{matrix} 2 \\\\ 1 \\end{matrix} \\right]+2\\left[ \\begin{matrix} 5 \\\\ 3 \\end{matrix} \\right]=\\left[ \\begin{matrix} 12 \\\\ 7 \\end{matrix} \\right] \\]

点积：矩阵A的行向量和x向量进行点积

\\[ \\left[ \\begin{matrix} 2 & 5 \\\\ 1 & 3 \\end{matrix} \\right]\\left[ \\begin{matrix} 1 \\\\ 2 \\end{matrix} \\right]=1\\left[ \\begin{matrix} 1\\times2+2\\times5 \\\\ 1\\times1+2\\times3 \\end{matrix} \\right]=\\left[ \\begin{matrix} 12 \\\\ 7 \\end{matrix} \\right] \\]