LCA--倍增法

Posted 2021-11-08 darlingroot

一般来求LCA有3种方法

1.倍增

2.RMQ+欧拉序

3.tarjan（离线）

 

本文将倍增求lca

这个算法是很常见很常见的

也是较好理解的

（我也不明白假期学长讲的时候我为什么死活都不明白

　自闭qwq

　对不起学长qwq

　明明学长讲的是最好的qwq

　想学长了qwq）

 

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一、基础概念

LCA定义：

　　LCA（Lowest Common Ancestors），即最近公共祖先，是指在有根树中，找出某两个结点u和v最近的公共祖先。

 

如图，结点4，6的公共祖先有1、2，但最近的公共祖先是2，即Lca(4,6) = 2

 

 

显然遇到这个问题

首先会想到暴力

再一算

时间复杂度"仅仅"是O(n)而已啦

可是如果有q次询问呢

比如说洛谷板子题

n和q（这里的q即板子题中的m都是5 * 10⁵的级别的

那么n*q就是一个不小的数了

那么暴力一定是过不了的了

那么就只能优化优化了

 

 

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倍增法：

 

注意到u，v走到最近公共祖先w之前，u，v所在结点不相同。

而到达最近公共祖先w后，再往上走仍是u，v的公共祖先，即u，v走到同一个结点，这具有二分性质。

于是可以预处理出一个2k的表，

fa[k][u]表示u往上走2k步走到的结点，令根结点深度为0，则2k>depth[u]时，令fa[k][u]=-1(不合法情况的处理）

 

 

不妨假设depth[u] < depth[v]

①将v往上走d = depth[v] - depth[u]步，此时u，v所在结点深度相同，该过程可用二进制优化。

由于d是确定值，将d看成2的次方的和值，d = 2k1 + 2k2 + ... + 2km，利用fa数组，如v = fa[k1][v]，v = fa[k2][v]加速。

②若此时u = v，说明Lca(u,v)已找到

③利用fa数组加速u，v一起往上走到最近公共祖先w的过程。

令d = depth[u] - depth[w]，虽然d是个未知值，但依然可以看成2的次方的和。

从高位到低位枚举d的二进制位，设最低位为第0位，若枚举到第k位，有fa[k][u] != fa[k][v]，则令u = fa[k][u]，v = fa[k][v]。

最后

最近公共祖先w = fa[0][u] = fa[0][v]，即u和v的父亲

 

 

 

 

　

如何预处理？
    k=0时，fa[k][u]为u在有根树中的父亲，令根结点fa[k][root]=-1。

　k>0时，fa[k][u]=fa[k-1][fa[k-1][u]]。树的高度最多为n，k是logn级别。

 

时间复杂度？
    预处理O(nlogn)
    单次查询O(logn)

 

来个板子题也很好理解呀（传送门）

上面提到过的

罗姑上也有板子题

但是我最近是由hdu的oj写的

正好还有那个的代码就直接拿过来了