机器学习基础对 softmax 和 cross-entropy 求导

Posted 2021-11-03 wuliyttaotao

目录

• 符号定义
• 对 softmax 求导
• 对 cross-entropy 求导
• 对 softmax 和 cross-entropy 一起求导
• References

在论文中看到对 softmax 和 cross-entropy 的求导，一脸懵逼，故来整理整理。

以 softmax regression 为例来展示求导过程，softmax regression 可以看成一个不含隐含层的多分类神经网络，如 Fig. 1 所示。

Fig. 1 Softmax Regression.

softmax regression 的矩阵形式如 Fig. 2 所示：

Fig. 2 Matrix Form.

符号定义

如 Fig. 1 所示，\\(\\bm x = [x_1, x_2, x_3]^{\\top}\\) 表示 softmax regression 的输入，\\(\\bm y = [y_1, y_2, y_3]^{\\top}\\) 表示 softmax regression 的输出，\\(\\bm W\\) 为权重，\\(\\bm b = [b_1, b_2, b_3]^{\\top}\\) 为偏置。

令 Fig. 2 中 softmax function 的输入为 \\(z_i = W_{i, 1}x_1 + W_{i, 2}x_2 + W_{i, 3}x_3 + b_i = W_{i}\\bm x + b_i\\)，其中 \\(i= 1, 2, 3\\)，\\(W_{i}\\) 表示权重矩阵 \\(\\bm W\\) 的第 \\(i\\) 行；softmax function 的输出就是整个网络的输出，即 \\(\\bm y\\)。

Note: Fig. 1 和 Fig.2 中权重 \\(W_{i, j}\\) 表示第 \\(i\\) 个输出和第 \\(j\\) 个输入之间的联系，和一般的记法（即 \\(W_{i, j}\\) 表示第 \\(i\\) 个输入和第 \\(j\\) 个输出之间权重）相差一个转置。

用 \\(m\\) 表示输出的类别数，本文中 \\(m = 3\\)。

Note: softmax regression 指的是整个网络，softmax function 仅仅指的是激活函数。本文默认 softmax 代指激活函数，当表示整个网络时会明确说明 softmax regression。

对 softmax 求导

softmax 函数的表达式为：
\\[ y_i = \\frac{e^{z_i}}{\\sum_{t = 1}^m e^{z_t}} \\tag{1} \\]

其中 \\(i= 1, 2, 3\\)。由式（1）可知，\\(y_i\\) 与 softmax function 所有的输入 \\(z_j, j = 1,2,3.\\) 都有关。
softmax function 的输出对其输入求偏导：
\\[ \\frac{\\partial y_i}{\\partial z_j} = \\frac{\\partial \\frac{e^{z_i}}{\\sum_{t = 1}^m e^{z_t}}}{\\partial z_j} \\tag{2} \\]

需要对式（2）中 \\(i = j\\) 和 \\(i \\not = j\\) 的情况进行分别讨论。因为式（1）分子中仅含第 \\(i\\) 项，式（2）中如果 \\(i = j\\)，那么导数 \\(\\frac{\\partial e^{z_i}}{\\partial z_j} = e^{z_i}\\)，不为 0；如果 \\(i \\not = j\\)，那导数 \\(\\frac{\\partial e^{z_i}}{\\partial z_j} = 0\\)。

• \\(i = j\\)，则式（2）为：
  \\[ \\begin{split} \\frac{\\partial y_i}{\\partial z_j} &= \\frac{\\partial \\frac{e^{z_i}}{\\sum_{t = 1}^m e^{z_t}}}{\\partial z_j} \\\\ &= \\frac{e^{z_i} \\cdot \\sum_{t = 1}^m e^{z_t} - e^{z_i} \\cdot e^{z_j} }{(\\sum_{t = 1}^m e^{z_t})^2} \\\\ &= \\frac{e^{z_i}}{\\sum_{t = 1}^m e^{z_t}} - \\frac{e^{z_i}}{\\sum_{t = 1}^m e^{z_t}} \\cdot \\frac{e^{z_j}}{\\sum_{t = 1}^m e^{z_t}} \\\\ &=y_i(1 - y_j) \\end{split} \\tag{3} \\]

当然，式（3）也可以写成 \\(y_i(1 - y_i)\\) 或者 \\(y_j(1 - y_j)\\)，因为这里 \\(i = j\\)。

• \\(i \\not = j\\)，则式（2）为：
  \\[ \\begin{split} \\frac{\\partial y_i}{\\partial z_j} &= \\frac{\\partial \\frac{e^{z_i}}{\\sum_{t = 1}^m e^{z_t}}}{\\partial z_j} \\\\ &= \\frac{0\\cdot \\sum_{t = 1}^m e^{z_t} - e^{z_i} \\cdot e^{z_j} }{(\\sum_{t = 1}^m e^{z_t})^2} \\\\ &= - \\frac{e^{z_i}}{\\sum_{t = 1}^m e^{z_t}} \\cdot \\frac{e^{z_j}}{\\sum_{t = 1}^m e^{z_t}} \\\\ &= -y_iy_j \\end{split} \\tag{4} \\]

对 cross-entropy 求导

令 \\(\\bm {\\hat y} = [\\hat{y}_1, \\hat{y}_2, \\hat{y}_3]^{\\top}\\) 为输入 \\(\\bm x\\) 真实类别的 one-hot encoding。

cross entropy 的定义如下：
\\[ H(\\bm {\\hat y}, \\bm y) = - \\bm {\\hat y}^{\\top} \\log \\bm y = - \\sum_{t = 1}^m \\hat{y}_t\\log y_t \\tag{5} \\]

对 cross entropy 求偏导：（\\(\\log\\) 底数为 \\(e\\)）
\\[ \\frac{\\partial H(\\bm {\\hat y}, \\bm y) }{\\partial y_i} = \\frac{\\partial [- \\sum_{t = 1}^m \\hat{y}_t\\log y_t ]}{\\partial y_i} = - \\frac{\\hat{y}_i}{y_i} \\tag{6} \\]

\\(\\bm {\\hat y}\\) 是确定的值，可以理解为样本的真实 one-hot 标签，不受模型预测标签 \\(\\bm y\\) 的影响。

对 softmax 和 cross-entropy 一起求导

\\[ \\begin{split} \\frac{\\partial H(\\bm {\\hat y}, \\bm y) }{\\partial z_j} &= \\sum_{i = 1}^{m} \\frac{\\partial H(\\bm {\\hat y}, \\bm y) }{\\partial y_i} \\frac{\\partial y_i }{\\partial z_j} \\\\ &= \\sum_{i = 1}^{m} -\\frac{\\hat{y}_i}{y_i} \\cdot \\frac{\\partial y_i }{\\partial z_j} \\\\ &= \\left(-\\frac{\\hat{y}_i}{y_i} \\cdot \\frac{\\partial y_i }{\\partial z_j}\\right )_{i = j} + \\sum_{i = 1 , i \\not = j}^{m} -\\frac{\\hat{y}_i}{y_i} \\cdot \\frac{\\partial y_i }{\\partial z_j} \\\\ &= -\\frac{\\hat{y}_j}{y_i} \\cdot y_i(1-y_j) + \\sum_{i = 1 , i \\not = j}^{m} -\\frac{\\hat{y}_i}{y_i} \\cdot -y_iy_j \\\\ &= - \\hat{y}_j + \\hat{y}_jy_j + \\sum_{i = 1 , i \\not = j}^{m} \\hat{y}_iy_j \\\\ & = - \\hat{y}_j + y_j\\sum_{i = 1}^{m} \\hat{y}_i \\\\ &= y_j - \\hat{y}_j \\end{split} \\tag{7} \\]

交叉熵 loss function 对 softmax function 输入 \\(z_j\\) 的求导结果相当简单，在 tensorflow 中，softmax 和 cross entropy 也合并成了一个函数，tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits，从导数求解方面看，也是有道理的。

在实际使用时，推荐使用 tensorflow 中实现的 API 去实现 softmax 和 cross entropy，而不是自己写，原因如下：

• 都已经有 API 了，干嘛还得自己写，懒就是最好的理由；
• softmax 因为计算了 exp(x)，很容易就溢出了，比如 np.exp(800) = inf，需要做一些缩放，而 tensorflow 会帮我们处理这种数值不稳定的问题。

References

TensorFlow MNIST Dataset and Softmax Regression - Data Flair
链式法则 - 维基百科
Softmax函数与交叉熵 - 知乎