Luogu P3403 跳楼机|同余最短路

Posted 2021-11-02 fmj123

题意：给出跳楼机的4个操作，分别为
1.向上移动\(x\)层；

2.向上移动\(y\)层；

3.向上移动\(z\)层；

4.回到第一层。 显然，并不需要

求从第一层开始，能到达\(1\)到\(h\)中的多少层？

\(1<=h<=2^{63}-1\)

\(1<=x, y, z<=100000\)

题解：

好像可以直接\(DP\)?

布星啊，看下数据范围。

那先来推推定理？

接下来假设\(x\le y\le z\)

对于一个数\(k\)，若它能到达，则\(k+x,k+2x,k+...\)（均\(\le h\)）均能到达，\(y\)，\(z\)同理

那我们可以选\(x\)为模数，若\(k\)可以，上面的都可以！显然可以设\(f[i]\)表示最小的可以用\(y,z\)表示出来的数。计算答案只需求\(\sum\limits^{x-1}_{i=0}(h-f[i])/x+1\)，空间是质的飞跃。

等等，你这根本不是递推啊，dp个鬼啊。

好吧，确实不行，但看下转移？

\(f[i+y]=f[i]+y,f[i+z]=f[i]+z\)

似曾相识有没有？

这与最短路非常相像完 全 一 致！

那就用最短路代替，从\(i->(i+y)\%x\)边权\(y\)，从\(i->(i+z)\%x\)边权\(z\)。

自此，算法成型。

这就是同余系最短路了

tips：应从\(1\%x\)开始跑最短路！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long cc,to[300100],net[300100],fr[300100],l[300100],g;
long long ans,hh,f[300100],h[300100],ha[300100],x[4];
bool vis[300100];
void addedge(long long u,long long v,long long len)
{
    cc++;
    to[cc]=v;net[cc]=fr[u];fr[u]=cc;l[cc]=len;
}
void add(long long x,long long y)
{
    g++;
    h[g]=x;ha[g]=y;
    long long fa=g/2,so=g;
    while (h[fa]>h[so]&&fa)
    {
        swap(h[fa],h[so]);
        swap(ha[fa],ha[so]);
        so=fa;fa/=2;
    }
}
long long del()
{
    long long re=ha[1];
    h[1]=h[g];ha[1]=ha[g];g--;
    long long fa=1,so=2;
    if (h[so]>h[so+1]&&so+1<=g) so++;
    while (h[fa]>h[so]&&so<=g)
    {
        swap(h[fa],h[so]);
        swap(ha[fa],ha[so]);
        fa=so;so*=2;
        if (h[so]>h[so+1]&&so+1<=g) so++;
    }
    return re;
}
void dij()
{
    for (long long i=0;i<x[0];i++)
      vis[i]=false,f[i]=9223372036854775807;
    f[1%x[0]]=1;
    add(1,1%x[0]);
    while (g)
    {
        long long x=del();
        if (vis[x]) continue;
        vis[x]=true;
        for (long long i=fr[x];i;i=net[i])
        {
            if (f[to[i]]>f[x]+l[i])
            {
                f[to[i]]=f[x]+l[i];
                add(f[to[i]],to[i]);
            }
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>hh;
    cin>>x[0]>>x[1]>>x[2];
    sort(x+0,x+3);
    for (long long i=0;i<x[0];i++)
    {
        addedge(i,(i+x[1])%x[0],x[1]);
        addedge(i,(i+x[2])%x[0],x[2]);
    }
    dij();
    for (long long i=0;i<x[0];i++)
    {
        if (f[i]>hh) continue;
        ans+=(hh-f[i])/x[0]+1;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

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参考资料
【1】https://www.luogu.org/problemnew/solution/P3403