Gym - 101982B Coprime Integers (莫比乌斯反演)

Posted 2021-11-02 zjl192628928

题目链接：http://codeforces.com/gym/101982/attachments

题目大意：有区间[a,b]和区间[c,d],求gcd(x,y)=1，其中x属于[a,b],y属于[c,d]，求这样的x，y有多少对。

解题思路：

第一种反演思路：

把下界变换一下

代码：

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e7+7;
ll a,b,c,d,mu[maxn],sum[maxn],prime[maxn],tot;
void getMobius(int N){
    for(int i=1;i<=N;i++) prime[i]=1;
    mu[1]=1;
    tot=0;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(prime[i]){
            prime[tot++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<tot&&prime[j]*i<=N;j++){
            prime[prime[j]*i]=0;
            if(i%prime[j]==0){
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d);
    getMobius(1e7);
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=min(b,d);i++)
        ans+=mu[i]*(b/i-(a-1)/i)*(d/i-(c-1)/i);
    printf("%lld\\n",ans);
    return 0;
}

 

第二种反演思路：

右边全部都是已知的，枚举下可取范围内的d（也就是原来n的倍数，这里n是1）

可以利用容斥原理，先求出[1，b]和[1，d]，再减去[1，a-1]和[1，d]以及[1，b]和[1，c-1]，最后加上多减的部分[1，a-1]和[1，c-1]。

并且很显然，推演最后得到的式子是可以经过整除分块优化的，只需要预处理出莫比乌斯函数的前缀和即可。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e7+7;
ll a,b,c,d,mu[maxn],sum[maxn],prime[maxn],tot;
void getMobius(int N){
    for(int i=1;i<=N;i++) prime[i]=1;
    mu[1]=1;
    tot=0;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(prime[i]){
            prime[tot++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<tot&&prime[j]*i<=N;j++){
            prime[prime[j]*i]=0;
            if(i%prime[j]==0){
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
ll solve(ll n,ll m){
    ll res=0;
    for(ll l=1,r=0;l<=min(n,m);l=r+1){
        r=min(n/(n/l),m/(m/l));
        res+=(sum[r]-sum[l-1])*(n/l)*(m/l);
    }
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d);
    getMobius(1e7);
    sum[1]=1;
    for(int i=2;i<=1e7;i++) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
    printf("%lld\\n",solve(b,d)-solve(a-1,d)-solve(c-1,b)+solve(a-1,c-1));
    return 0;
}