数论ex

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数论ex相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

数论ex

数学学得太差了补补知识点or复习

Miller-Rabin 和 Pollard Rho

  • Miller-Rabin

    前置知识:

    1. 费马小定理
      \[ a^{p-1}\equiv 1\pmod p,p \ is \ prime \]

    2. 二次探测(mod奇素数下1的二次剩余)
      \[ x^2\equiv 1\pmod p\Rightarrow x=1 \ or \ p-1 \]
      如果不是 \(\bmod\) 奇素数,二次剩余可能是更多的值

    如果把费马小定理反过来用来检测一个数是否是素数,虽然是错的,但是反例比较少,如果配合二次探测进行测试并取多个a,可以把1e18内的所有数是否是质数判断出来。

    具体的,取\(a\)为前\(12\)个质数\((2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37)\)

    然后用费马小定理进行测试,如果\(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\),就根据二次探测检验是否有\(a^{(p-1)/2}\equiv 1\pmod p\),如果值为\(1\),就递归\((p-1)/4\)处理,如果值为\(p-1\),无法向下递归直接返回true,否则返回false

    Code:

    const int pri[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37};
    bool ck(ll a,ll k,ll p)
    {
        ll x=qp(a,k,p);//a^k mod p
        if(x!=1&&x!=p-1) return false;
        if(x==p-1) return true;
        if(k&1) return true;
        return ck(a,k>>1,p);
    }
    bool Miller_Rabin(ll p)
    {
        if(p==1) return false;
        for(int i=0;i<12;i++) if(p%pri[i]==0) return p==pri[i];
        for(int i=0;i<12;i++)
            if(!ck(pri[i],p-1,p))
                return false;
        return true;
    }

    这样做的复杂度是\(12\log^2 n\),其中因子2的个数是一个\(\log\),里面每次还做了一次快速幂,如果里面用了龟速乘就更完蛋了。

    考虑从底向上做,就是说,先求出\(x-1\)除2到不能除的最底层的\(x\),这样每次向上一层直接就是\(x^2\)

    考虑在某一层\(x=1\),那么如果之前的一层的\(x'\not=p-1\)的话,就不合法了,或者在最上面一层\(x\)仍然不为\(1\),也是不合法的

    这样就优化掉了一个\(\log\)

    Code:

    const int pri[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37};
    bool Miller_Rabin(ll p)
    {
        if(p==1) return false;
        for(int i=0;i<12;i++) if(p%pri[i]==0) return p==pri[i];
        ll res=p-1;int k=0;
        while(!(res&1)) res>>=1,++k;
        for(int i=0;i<12;i++)
        {
            ll x=qp(pri[i],res,p);
            for(int j=0;j<k&&x>1;j++)
            {
                ll y=(ll)x*x%p;
                if(y==1&&x!=p-1) return false;
                x=y;
            }
            if(x!=1) return false;
        }
        return true;
    }

    洛谷 P3383 【模板】线性筛素数

    完整Code

  • Pollard Rho

    朱老大说的非常好

    我再胡乱说一个自己瞎编的假装是给自己看的,说一下流程把

    首先是不加倍增优化的

    考虑在\(n\)范围内rand两个数\(x,y\),如果\(\gcd(x+n-y\bmod n,n)\not=1,n\),那么\(|x-y|\)就是一个\(n\)的约数。

    现在搞一个近似随机函数\(f\),保证\(f\)\(\bmod n\)近似均匀随机

    \(f_m(x)=f(f_{m-1}(x))\),因为\(f\)取值有限,所以一定会出现循环,考虑在出现循环的时候如果我们还没有找到约数,我们就退出。

    具体的,初始\(x=y=rand()\),然后\(x\)一步一步跳,\(x'=f(x)\)\(y\)两步两步跳\(y'=f(f(y))\),如果\(x\)\(y\)又跳到相等了,就说明找到了环,可以证明这个环最多被走一次就找到了。

    发现\(f(x)=x^2+c\)的时候效果好,\(c\)是随机正整数。

    于是我们每次\(rand()\)一个\(x,y\)\(c\)去找一个约数,然后分解\(n\),递归子问题继续找,知道Miller Rabin检测\(n\)为素数。

    这样的复杂度是\(O(n^{\frac{1}{4}}\log n)\)

    考虑去优化掉\(\log\)

    打雀去了,明天再写

以上是关于数论ex的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

[数论]扩展中国剩余定理(EX-CRT)

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