数论ex

Posted 2021-11-01 butterflydew

数论ex

数学学得太差了补补知识点or复习

Miller-Rabin 和 Pollard Rho

• Miller-Rabin

  前置知识：

  1. 费马小定理
     \[ a^{p-1}\equiv 1\pmod p,p \ is \ prime \]

  2. 二次探测（mod奇素数下1的二次剩余）
     \[ x^2\equiv 1\pmod p\Rightarrow x=1 \ or \ p-1 \]
     如果不是 \(\bmod\) 奇素数，二次剩余可能是更多的值

  如果把费马小定理反过来用来检测一个数是否是素数，虽然是错的，但是反例比较少，如果配合二次探测进行测试并取多个a，可以把1e18内的所有数是否是质数判断出来。

  具体的，取\(a\)为前\(12\)个质数\((2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37)\)

  然后用费马小定理进行测试，如果\(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)，就根据二次探测检验是否有\(a^{(p-1)/2}\equiv 1\pmod p\)，如果值为\(1\)，就递归\((p-1)/4\)处理，如果值为\(p-1\)，无法向下递归直接返回true，否则返回false

  Code:

  const int pri[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37};
  bool ck(ll a,ll k,ll p)
  {
      ll x=qp(a,k,p);//a^k mod p
      if(x!=1&&x!=p-1) return false;
      if(x==p-1) return true;
      if(k&1) return true;
      return ck(a,k>>1,p);
  }
  bool Miller_Rabin(ll p)
  {
      if(p==1) return false;
      for(int i=0;i<12;i++) if(p%pri[i]==0) return p==pri[i];
      for(int i=0;i<12;i++)
          if(!ck(pri[i],p-1,p))
              return false;
      return true;
  }

  这样做的复杂度是\(12\log^2 n\)，其中因子2的个数是一个\(\log\)，里面每次还做了一次快速幂，如果里面用了龟速乘就更完蛋了。

  考虑从底向上做，就是说，先求出\(x-1\)除2到不能除的最底层的\(x\)，这样每次向上一层直接就是\(x^2\)了

  考虑在某一层\(x=1\)，那么如果之前的一层的\(x'\not=p-1\)的话，就不合法了，或者在最上面一层\(x\)仍然不为\(1\)，也是不合法的

  这样就优化掉了一个\(\log\)

  Code:

  const int pri[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37};
  bool Miller_Rabin(ll p)
  {
      if(p==1) return false;
      for(int i=0;i<12;i++) if(p%pri[i]==0) return p==pri[i];
      ll res=p-1;int k=0;
      while(!(res&1)) res>>=1,++k;
      for(int i=0;i<12;i++)
      {
          ll x=qp(pri[i],res,p);
          for(int j=0;j<k&&x>1;j++)
          {
              ll y=(ll)x*x%p;
              if(y==1&&x!=p-1) return false;
              x=y;
          }
          if(x!=1) return false;
      }
      return true;
  }

  洛谷 P3383 【模板】线性筛素数

  完整Code

• Pollard Rho

  朱老大说的非常好

  我再胡乱说一个自己瞎编的假装是给自己看的，说一下流程把

  首先是不加倍增优化的

  考虑在\(n\)范围内rand两个数\(x,y\)，如果\(\gcd(x+n-y\bmod n,n)\not=1,n\)，那么\(|x-y|\)就是一个\(n\)的约数。

  现在搞一个近似随机函数\(f\)，保证\(f\)在\(\bmod n\)近似均匀随机

  令\(f_m(x)=f(f_{m-1}(x))\)，因为\(f\)取值有限，所以一定会出现循环，考虑在出现循环的时候如果我们还没有找到约数，我们就退出。

  具体的，初始\(x=y=rand()\)，然后\(x\)一步一步跳，\(x'=f(x)\)，\(y\)两步两步跳\(y'=f(f(y))\)，如果\(x\)与\(y\)又跳到相等了，就说明找到了环，可以证明这个环最多被走一次就找到了。

  发现\(f(x)=x^2+c\)的时候效果好，\(c\)是随机正整数。

  于是我们每次\(rand()\)一个\(x,y\)和\(c\)去找一个约数，然后分解\(n\)，递归子问题继续找，知道Miller Rabin检测\(n\)为素数。

  这样的复杂度是\(O(n^{\frac{1}{4}}\log n)\)的

  考虑去优化掉\(\log\)

  打雀去了，明天再写