[UOJ22]外星人

Posted 2021-10-29 beretty

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题解

首先可以发现有效果的\\(a_i\\)大小一定是递减的,而且一定小于等于当前值
所以我们可以从大到小考虑每个\\(a_i\\),当确定了一个有效果的\\(a_i\\)时,\\((a_i,x]\\)的数都可以随意的放在\\(a_i\\)之后并且不会造成影响
设\\(f_i\\)表示考虑完所有的大小大于\\(i\\)数,当前数值为\\(i\\)的方案数
\\(s_i\\)表示\\(\\le i\\)的数的个数
那么\\(f_{i\\%a[j]}=f_{i}\\times A_{s_{i}-1-s[i\\%a[j]]}^{s_i-1}\\)
表示每次把\\(i\\%a[j]\\sim i-1\\)之间的数插在所有\\(\\le i\\)之间的数的方案数
其实这个\\(dp\\)的过程就相当于把一个一个的数往数列里插入计算贡献,只不过这个\\(dp\\)的过程是反着的

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
const int M = 5005 ;
const int mod = 998244353 ;
using namespace std ;

inline int read() {
    char c = getchar() ; int x = 0 , w = 1 ;
    while(c>'9'||c<'0') { if(c=='-') w = -1 ; c = getchar() ; }
    while(c>='0'&&c<='9') { x = x*10+c-'0' ; c = getchar() ; }
    return x*w ;
}

int n , m , x , minv = 5000 ;
int sum[M] , val[M] , f[M] ;
int inv[M] , fac[M] , finv[M] ;

inline int A(int n , int m) {
    return 1LL * fac[n] * finv[n - m] % mod ;
}
int main() {
    n = read() ; x = read() ;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) { 
        val[i] = read() ;  minv = min( minv , val[i] ) ;
        m = max(m , val[i]) ; ++ sum[val[i]] ;
    }
    for(int i = 1 ; i <= 5000 ; i ++)  sum[i] += sum[i - 1] ;
    inv[1] = 1 ; for(int i = 2 ; i <= 5000 ; i ++) inv[i] = 1LL * (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod ;
    fac[0] = 1 ; for(int i = 1 ; i <= 5000 ; i ++) fac[i] = 1LL * fac[i - 1] * i % mod ;
    finv[0] = 1 ; for(int i = 1 ; i <= 5000 ; i ++) finv[i] = 1LL * finv[i - 1] * inv[i] % mod ;
    f[x] = 1LL * fac[n] * finv[sum[x]] % mod ;
    for(int i = x ; i ; i --)
        for(int j = 1 ; j <= n ; j ++)
            if(val[j] <= i)
                f[i % val[j]] = ( f[i % val[j]] + 1LL * f[i] * A( sum[i] - 1 , sum[i] - sum[i % val[j]] - 1 ) % mod ) % mod ;
    for(int i = minv - 1 ; i >= 0 ; i --)
        if(f[i]) {
            printf("%d\\n%d\\n",i , f[i]) ;
            break ;
        }
    return 0 ;
}