P1090 合并果子

Posted 2021-10-27 xcg123

原题链接 https://www.luogu.org/problemnew/show/P1090

看了题面，应该就会想到用贪心+二叉堆吧。

先带大家走一遍思路：

题目要求消耗的最小体力值，很轻易就想到每次找两个最小的堆进行合并，重复n-1次，那么这样消耗的体力一定是最少的，贪心思想！

对于排序，我们更轻易得想到用sort排序，每次取出最小的两个元素就好啦；

然后就像我一样用sort快排交了上去，发现TLE了一堆！！！

为什么呢？？？

sort排序固然很快！但是对于n-1排序的话，就远远不如堆排序了。堆排序运用了二分的思想，大大缩短了排序时间！

二分思想？如果不了解堆排序的你现在可能有点懵，下面解释一下堆排序的原理及代码实现吧：   详细请看大佬的博客https://www.cnblogs.com/chengxiao/p/6129630.html  qaq～

预备知识

堆排序

　　堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。首先简单了解下堆结构。

堆

　　堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。如下图：

同时，我们对堆中的结点按层进行编号，将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子

该数组从逻辑上讲就是一个堆结构，我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是：

大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]  

小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]  

ok，了解了这些定义。接下来，我们来看看堆排序的基本思想及基本步骤：

堆排序基本思想及步骤

　　堆排序的基本思想是：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了

步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。

　　a.假设给定无序序列结构如下

2.此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。

4.找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换。

这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。

此时，我们就将一个无需序列构造成了一个大顶堆。

步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。

a.将堆顶元素9和末尾元素4进行交换

b.重新调整结构，使其继续满足堆定义

c.再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换，得到第二大元素8.

后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序

再简单总结下堆排序的基本思路：

　　a.将无需序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;

　　b.将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端;

　　c.重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,m,a[10005],sum=0,ans=0;
void put(int k)
{
    sum++;                            //加入新元素，sum加一 
    int now,next;                     //now记录新元素的编号，next记录该元素的父亲的编号 
    a[sum]=k;
    now=sum;
    while(now>1)                      //如果now不是根结点 
    {
        next=now/2; 
        if(a[now]>=a[next]) return ;  //如果孩子大于等于父亲，说明符合小根堆的特征，直接返回 
        swap(a[now],a[next]);          
        now=next;
    }
}
int get()                             //从最小堆中取出一个元素                             
{
    int now=1,next,small;             //now是记录取出的元素在堆中的编号，根据题意我们要取得是最小值，根结点符合，所以now赋值为1 
    small=a[1];                       //small记录堆中的最小元素 
    a[1]=a[sum];                      //用堆中最后一个元素将第一个元素覆盖 
    sum--;                            //堆的长度减一 
    while(now*2<=sum)                 //now的左孩子要在堆内 
    {
        next=now*2;                   //next记录now的左孩子的编号 
        if(a[next]>a[next+1]&&next+1<=sum) next++;     //如果now的右孩子next+1在堆内且右孩子小于左孩子，next加一改成右孩子的编号，保证next记录的元素是now孩子中最小的 
        if(a[now]<=a[next]) return small;              //如果now比最小孩子还小，说明符合小根堆的特征，直接返回small 
        swap(a[now],a[next]);         //如果到了这一步，说明now比next大，那么就要交换它们两个的值 
        now=next;                     //now换成next的值继续往下搜 
    }
    return small;                     //这里别忘了再返回一次 
}
int main()
{
    int x,y;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>m;
        put(m);                       //将输入的m入堆，并进行调整，维持它的最小堆 
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        x=get();                      //取出堆中的最小元素 
        y=get();                      //取出堆中的次小元素 
        ans+=x+y;                     //记录消耗的体力值 
        put(x+y);                      //将新合成的果堆入堆 
    }    
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}