全排列的编码与解码——康托展开

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了全排列的编码与解码——康托展开相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

、康托展开:全排列到一个自然数的双射

 
X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!
 
ai为整数,并且0<=ai<i(1<=i<=n)
 
 适用范围:没有重复元素的全排列
 
 
二、全排列的编码:
 
{1,2,3,4,...,n}的排列总共有n!种,将它们从小到大排序,怎样知道其中一种排列是有序序列中的第几个?
 
如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个:123 132 213 231 312 321。想知道321是{1,2,3}中第几个大的数。
 
这样考虑:第一位是3,小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位,小于2的数只有一个就是1 ,所以有1*1!=1 所以小于32
 
的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。2*2!+1*1!是康托展开。(注意判断排列是第几个时要在康托展开的结果后+1)
 
再举个例子:1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数:第一位是1小于1的数没有,是0个,0*3!,第二位是3小于3的数有1和2,但1已经在第一位了,所以只有一个数2,1*2! 。第三位是2小于2的数是1,但1在第一位,所以有0个数,0*1!,所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个,1324是第三个大数。
 
又例如,排列3 5 7 4 1 2 9 6 8展开为98884,因为X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.
 
解释:
 
排列的第一位是3,比3小的数有两个,以这样的数开始的排列有8!个,因此第一项为2*8!
 
排列的第二位是5,比5小的数有1、2、3、4,由于3已经出现,因此共有3个比5小的数,这样的排列有7!个,因此第二项为3*7!
 
以此类推,直至0*0!
#include<cstdio>  
const int fac[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320};///阶乘  
   
int KT(int s[], int n)  
{  
    int i, j, cnt, sum;  
    sum = 0;  
    for (i = 0; i < n; ++i)  
    {  
        cnt = 0;  
        for (j = i + 1; j < n; ++j)  
            if (s[j] < s[i]) ++cnt;  
        sum += cnt * fac[n - i - 1];  
    }  
    return sum;  
}  
   
int main()  
{  
    int a[] = {3, 5, 7, 4, 1, 2, 9, 6, 8};  
    printf("%d\n", 1 + KT(a, sizeof(a) / sizeof(*a))); ///1+98884  
}  

  三、全排列的解码

如何找出第16个(按字典序的){1,2,3,4,5}的全排列?
 
1. 首先用16-1得到15
 
2. 用15去除4! 得到0余15
 
3. 用15去除3! 得到2余3
 
4. 用3去除2! 得到1余1
 
5. 用1去除1! 得到1余0
 
有0个数比它小的数是1,所以第一位是1
 
有2个数比它小的数是3,但1已经在之前出现过了所以是4
 
有1个数比它小的数是2,但1已经在之前出现过了所以是3
 
有1个数比它小的数是2,但1,3,4都出现过了所以是5
 
最后一个数只能是2
 
所以排列为1 4 3 5 2
#include<cstdio>  
#include<cstring>  
const int fac[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320};///阶乘  
   
bool vis[10];  
   
///n为ans大小,k为全排列的编码  
void invKT(int ans[], int n, int k)  
{  
    int i, j, t;  
    memset(vis, 0, sizeof(vis));  
    --k;  
    for (i = 0; i < n; ++i)  
    {  
        t = k / fac[n - i - 1];  
        for (j = 1; j <= n; j++)  
            if (!vis[j])  
            {  
                if (t == 0) break;  
                --t;  
            }  
        ans[i] = j, vis[j] = true;  
        k %= fac[n - i - 1];///余数  
    }  
}  
   
int main()  
{  
    int a[10];  
    invKT(a, 5, 16);  
    for (int i = 0; i < 5; ++i)  
        printf("%d ", a[i]);///1 4 3 5 2  
}  

  见:http://www.2cto.com/kf/201311/260148.html

以上是关于全排列的编码与解码——康托展开的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

康托展开-全排列的编码与解码

全排列编码于解码-康托展开式

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数据结构——康托展开与逆康托展开