xsy2274 平均值 线段树

Posted 2020-08-10 $mathit{AlphaINF}$

题目大意：给你一个长度为$n$的序列$a$，请你求：

$\sum\limits_{l=1}^{n}\sum\limits_{r=l}^{n}\dfrac{mex(a_l,a_{l+1},...,a_r)}{r-l+1}$

对998244353取模

数据范围：$n≤5\times 10^5$

 

我们考虑把原先的式子转化一下

令$s[i]=\sum\limits_{j=1}^{i} \frac{1}{i}$。

令$f[i][l]$表示最小的$x$，满足$mex(a_l,a_{l+1},...,a_x)≥i$。若找不到这样的$x$，$f[i][l]=n+1$

不难发现，原先答案的式子我们可以转化:

$\sum\limits_{i=1}^{lim}\sum\limits_{l=1}^{n}s[n-l+1]-s[f[i][l]-l]$

其中lim表示最大的数x，满足0到x-1中的数都出现过

 

然后我们发现，当i不变时，$f[i]$的值是递增的，且有大量的值是相同的，且以区间的形式出现。

我们可以基于这个性质，通过线段树打标记，快速地将$f[i]$的值更新至$f[i+1]$。

线段树统计的同时维护答案的式子，每次累加即可。

 

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define M (1<<19)
 3 #define L long long
 4 #define mid ((a[x].l+a[x].r)>>1)
 5 #define MOD 998244353
 6 using namespace std;
 7 
 8 L pow_mod(L x,L k){L ans=1;for(;k;k>>=1,x=x*x%MOD) if(k&1) ans=ans*x%MOD; return ans;}
 9 L inv[M]={0},s[M]={0},n; 
10 L S(int l,int r){return (s[r]-s[max(l-1,0)]+MOD)%MOD;}
11 
12 struct seg{int l,r,tag,minn,maxn;L sum;}a[M*2];
13 
14 void pushup(int x){
15     a[x].minn=min(a[x<<1].minn,a[x<<1|1].minn);
16     a[x].maxn=max(a[x<<1].maxn,a[x<<1|1].maxn);
17     a[x].sum=(a[x<<1].sum+a[x<<1|1].sum);
18 }
19 void upd(int x,int k){
20     a[x].tag=a[x].minn=a[x].maxn=k;
21     a[x].sum=S(k-a[x].r,k-a[x].l);
22 }
23 void pushdown(int x){
24     if(a[x].tag) upd(x<<1,a[x].tag),upd(x<<1|1,a[x].tag);
25     a[x].tag=0;
26 }
27 
28 int build(int x,int l,int r){
29     a[x].l=l; a[x].r=r; if(l==r) return a[x].minn=a[x].maxn=l;
30     build(x<<1,l,mid); build(x<<1|1,mid+1,r); pushup(x);
31 }
32 
33 void updata(int x,int l,int r,int k){
34     if(a[x].minn>=k) return;
35     if(a[x].l==a[x].r){
36         a[x].minn=a[x].maxn=max(a[x].maxn,k);
37         a[x].sum=S(k-a[x].l,k-a[x].l);
38         return;
39     }
40     if(l<=a[x].l&&a[x].r<=r){
41         if(a[x].maxn<k){
42             upd(x,k);
43             return;
44         }
45     }
46     pushdown(x);
47     if(l<=mid) updata(x<<1,l,r,k);
48     if(mid<r) updata(x<<1|1,l,r,k);
49     pushup(x);
50 }
51 
52 struct node{
53     int x,id; node(){x=id=0;}
54     friend bool operator <(node a,node b){return a.x==b.x?a.id<b.id:a.x<b.x;}
55 }p[M];
56 
57 int main(){
58     for(int i=1;i<M;i++) inv[i]=pow_mod(i,MOD-2);
59     for(int i=1;i<M;i++) s[i]=(s[i-1]+inv[i])%MOD;
60     for(int i=1;i<M;i++) s[i]=(s[i-1]+s[i])%MOD;
61     
62     scanf("%d",&n); build(1,1,n);
63     for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&p[i].x),p[i].id=i;
64     sort(p+1,p+n+1); p[0].x=-1; p[n+1].x=19890604;
65     
66     L ans=0,hh=0;
67     
68     for(int i=1,j=1;i<=n;hh++){
69         if(p[i].x!=p[i-1].x+1) break;
70         while(p[i].x==p[j].x) j++;
71         
72         for(int last=0;i<=j;i++){
73             if(i==j){
74                 if(last<n) updata(1,last+1,n,n+1);
75                 break;
76             }
77             updata(1,last+1,p[i].id,p[i].id);
78             last=p[i].id;
79         }
80         
81         ans=(ans+a[1].sum)%MOD;
82     }
83     
84     cout<<(s[n]*hh-ans+MOD)%MOD<<endl;
85 }