概率论知识总结

Posted 2020-07-25 仰望高端玩家的小清新

概率论第三部分：二（多）维随机变量的性质计算

1.如何计算二维随机变量的联合分布函数？

思路：首先分类讨论：离散型：对分布律进行求和——连续型：求出概率密度函数，正确定限，积分。其中，正确定限是连续型求解中极其容易犯错的地方

例题：随机变量（x,y）服从d上的均匀分布,其中d为x轴、y轴及直线y=2x+1围成的三角形区域,求
（1）随机变量（x,y）的密度函数（2）随机变量（x,y）的分布函数

密度函数自然不用说，面积是1/4，所以密度函数一个是0，一个是4，（注意定义域：-1/2<=x<=0，0<=y<=2x+1）

重点来了，如何求解（x，y）的分布函数？

由定义可知：F(x,,y)=∫∫f（x,y）dxdy，（积分下限是-∞，上限分别是x和y）

但是我们要注意，f（x,y）仅在定义域（-1/2<=x<=0，0<=y<=2x+1）内是非零的，所以我们需要画图进行分类讨论。

1. 由F（x）的定义   小于x的概率   ，我们就可以知道，当x和y有任意一个小于定义域的左边界时，从-∞积分上来都会因为f（x,y）==0而为0。
2. 当x，y都在定义域的范围内时，我们可以认为x，y都是变量，所以x和y的积分上限都是x和y（因为在这种情况下，x和y是分别独立被给定的，之间没有关系），我们可以调换积分顺序，先积分的变量要用另外一个变量来确定上下限，本题中，如果先x后y，则x是：（-1/2*（y-1））——x，y是：0——y，如果先y后x，则x是：（-1/2）——x，而y是：2x+1——y
3. 当x在定义域范围，而y出了定义域范围时，我们知道，y如果小于定义域中y的下限，则已经在1中讨论过为0，因此这里需要再讨论y大于定义域上限的情况。此时，由于y超出了范围，因此y不再是2中的那种“变量”，此时只有x可以被“给定”，所以此时要先积y，再积x，不能调换顺序，因为此时的F(x,y)需要用可以被给定的变量来刻画，也就是x。因此，积分上下限为，x是：-1/2——x，y是：0——2x+1，还是2x+1——1？答案是0——2x+1。为什么呢，因为这还是和F的含义有关，当x在定义域内，而y超出定义域时，我们通过画图，可以看出，给定一个x后，y的积分实际上还是从-∞到达一个超过了定义域的值为止，所以可以在图形上表示如下：所以，实际影响结果的还是涂黑的那部分。

4. 接下来，如果y在定义域内，而x超出了定义域，那么我们确定F（x,y）需要用y来表示，我们可以根据3中的思路，得到x和y的上下限：x为：（y-1）/2——0，y为：0——y

    

5. 最后，如果x和y都超出了定义域，那么毫无疑问，F（x,y）==1

这样，我们就可以保证无遗漏地讨论了所有的F（x,y），只要求出并写出，就可以了。