最短路径算法

Posted 2020-07-25

Djkstra算法(单源最短路径)

算法的基本思想是：每次找到离源点（上面例子的源点就是 1 号顶点）最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。基本步骤如下：

• 将所有的顶点分为两部分：已知最短路程的顶点集合 P 和未知最短路径的顶点集合 Q。最开始，已知最短路径的顶点集合 P 中只有源点一个顶点。我们这里用一个 book[ i ]数组来记录哪些点在集合 P 中。例如对于某个顶点 i，如果 book[ i ]为 1 则表示这个顶点在集合 P 中，如果 book[ i ]为 0 则表示这个顶点在集合 Q 中。
• 设置源点 s 到自己的最短路径为 0 即 dis=0。若存在源点有能直接到达的顶点 i，则把 dis[ i ]设为 e[s][ i ]。同时把所有其它（源点不能直接到达的）顶点的最短路径为设为 ∞。
  在集合 Q 的所有顶点中选择一个离源点 s 最近的顶点 u（即 dis[u]最小）加入到集合 P。并考察所有以点 u 为起点的边，对每一条边进行松弛操作。例如存在一条从 u 到 v 的边，那么可以通过将边 u->v 添加到尾部来拓展一条从 s 到 v 的路径，这条路径的长度是 dis[u]+e[u][v]。如果这个值比目前已知的 dis[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前 dis[v]中的值。
• 重复第 3 步，如果集合 Q 为空，算法结束。最终 dis 数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。

#include <stdio.h>
    int main()
    {
        int e[10][10],dis[10],book[10],i,j,n,m,t1,t2,t3,u,v,min;
        int inf=99999999; //用inf(infinity的缩写)存储一个我们认为的正无穷值
        //读入n和m，n表示顶点个数，m表示边的条数
        scanf("%d %d",&n,&m);

        //初始化
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=n;j++)
                if(i==j) e[i][j]=0;
                  else e[i][j]=inf;

        //读入边
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);
            e[t1][t2]=t3;
        }
        //初始化dis数组，这里是1号顶点到其余各个顶点的初始路程
        for(i=1;i<=n;i++)
            dis[i]=e[1][i];
        //book数组初始化
        for(i=1;i<=n;i++)
            book[i]=0;
        book[1]=1;

        //Dijkstra算法核心语句
        for(i=1;i<=n-1;i++)
        {
            //找到离1号顶点最近的顶点
            min=inf;
            for(j=1;j<=n;j++)
            {
                if(book[j]==0 && dis[j]<min)
                {
                    min=dis[j];
                    u=j;
                }
            }
            book[u]=1;
            for(v=1;v<=n;v++)
            {
                if(e[u][v]<inf)
                {
                    if(dis[v]>dis[u]+e[u][v])
                        dis[v]=dis[u]+e[u][v];
                }
            }
        }

        //输出最终的结果
        for(i=1;i<=n;i++)
            printf("%d ",dis[i]);

        getchar();
        getchar();
        return 0;
    }

Floyd算法(任意两点最短路径)

这段代码的基本思想就是：最开始只允许经过 1 号顶点进行中转，接下来只允许经过 1 和 2 号顶点进行中转……允许经过 1~n 号所有顶点进行中转，求任意两点之间的最短路程。用一句话概括就是：从 i 号顶点到 j 号顶点只经过前k号点的最短路程。其实这是一种“动态规划”的思想

#include <stdio.h>
    int main()
    {
        int e[10][10],k,i,j,n,m,t1,t2,t3;
        int inf=99999999; //用inf(infinity的缩写)存储一个我们认为的正无穷值
        //读入n和m，n表示顶点个数，m表示边的条数
        scanf("%d %d",&n,&m);

        //初始化
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=n;j++)
                if(i==j) e[i][j]=0;
                  else e[i][j]=inf;
        //读入边
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);
            e[t1][t2]=t3;
        }

        //Floyd-Warshall算法核心语句
        for(k=1;k<=n;k++)
            for(i=1;i<=n;i++)
                for(j=1;j<=n;j++)
                    if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j] )
                        e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];

        //输出最终的结果
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
         for(j=1;j<=n;j++)
            {
                printf("%10d",e[i][j]);
            }
            printf("\\n");
        }

        return 0;
    }

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