算法训练营：道路升级

Posted 2021-02-07 syyyyy

问题描述

Z国有 n 个城市和 m 条双向道路，每条道路连接了两个不同的城市，保证所有城市之间都可以通过这些道路互达。每条道路都有一个载重量限制，这限制了通过这条道路的货车最大的载重量。道路的编号从 1 至 m 。巧合的是，所有道路的载重量限制恰好都与其编号相同。

现在，要挑选出若干条道路，将它们升级成高速公路，并满足如下要求：

• 所有城市之间都可以通过高速公路互达。
• 对于任意两个城市 u,v 和足够聪明的货车司机：只经过高速公路从 u 到达 v 能够装载货物的最大重量，与经过任意道路从 u 到达 v 能够装载货物的最大重量相等。（足够聪明的司机只关注载重量，并不在意绕路）

在上面的前提下，要求选出的道路数目尽可能少。

求需要挑选出哪些道路升级成高速公路（如果有多种方案请任意输出一种）。

输入

第一行 2 个用空格隔开的整数 n,m ，分别表示城市数目、道路数目。

第 2 行到第 m+1 行，每行 2 个用空格隔开的整数 u,v 描述一条从 u 到 v 的双向道路，第 i+1 行的道路的编号为 i 。

注意：数据只保证不存在连接的城市相同的道路（自环），并不保证不存在两条完全相同的边（重边）

输出

第一行一个整数 k ，表示升级成高速公路的道路数。

接下来 k 行每行一个整数，从小到大输出所有选出的道路的编号。

输入样例

5 3
1
3
5
10
3

输出样例

2
2
3

数据范围

对于 20% 的数据，保证 n≤5，m≤10。

对于 60% 的数据，保证 n≤1,000，m≤5,000。

对于 100% 的数据，保证 n≤200,000，m≤400,000。

时间限制：10 sec

空间限制：256 MB

提示

[提示1：真的可能有多种方案吗？]

[提示2：k 是否一定为 n-1 呢？（也就是说，选出的道路是否恰好构成了一棵树？）]

[提示3：这道题和最小生成树有什么关系呢？]

代码实现：

 

 1 #include <iostream>
 2 #include <vector>
 3 using namespace std;
 4 
 5 // ================= 代码实现开始 =================
 6 
 7 const int N = 500005 ;
 8 
 9 class UnionSet{
10 public:
11     int f[N] ;
12     //初始化
13     //n ：节点数量
14     void init( int n )
15     {
16         for( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
17             f[i] = i ;
18     }
19     int find( int x )
20     {
21         return f[x] == x ? x : f[x] = find( f[x] ) ;
22     }
23     //将x节点和y节点所在集合合并
24     // x：一个节点
25     // y : 一个结点
26     //返回值： 返回true表示成功合并，返回false表示已经在一个集合里了
27     bool merge( int x , int y )
28     {
29         int setX = find(x) ;
30         int setY = find(y) ;
31         if( setX != setY )
32         {
33             f[setX] = setY ;
34             return true ;
35         }
36         return false ;
37     }
38 }us;
39 
40 // 给定一个n个点m条边的无向图，第i条边边权为i，求所有需要升级的边
41 // n：点->城市
42 // m：边->道路
43 // U：大小为m的数组，表示m条边的其中一个端点
44 // V：大小为m的数组，表示m条边的另一个端点
45 // 返回值：所有需要升级的边，从小到大排列；第一小问的答案自然即为返回值的size，所以你不必考虑如何返回size
46 
47 vector<int>getAnswer(int n, int m, vector<int> U, vector<int> V)
48 {
49     vector<int> ans;
50     us.init(n);
51     //构造最大生成树，找权值最大的边
52     for( int i = m - 1 ;  i >= 0 ;  --i )
53         if( us.merge( U[i] , V[i] ) )
54             ans.push_back( i + 1 ) ;         //加入边，从1开始到m
55     reverse(ans.begin() , ans.end());            //原来ans试从小到大排列的，现将ans数组从大到小排列
56     return ans;
57 }
58 
59 int main()
60 {
61     int n, m;
62     scanf("%d%d", &n, &m);
63     vector<int> U, V;
64     for (int i = 0; i < m; ++i) {
65         int u, v;
66         scanf("%d%d", &u, &v);
67         U.push_back(u);
68         V.push_back(v);
69     }
70     vector<int> ans = getAnswer(n, m, U, V);
71     printf("%d\n", int(ans.size()));
72     for (int i = 0; i < int(ans.size()); ++i)
73         printf("%d\n", ans[i]);
74     return 0;
75 }