MT279分母为根式的两个函数

Posted 2021-02-03 青春的记忆

函数$f(x)=\\dfrac{3+5\\sin x}{\\sqrt{5+4\\cos x+3\\sin x}}$的值域是____

函数$f(x)=\\dfrac{3+5\\sin x}{\\sqrt{5+4\\cos x+3\\sin x}}$的值域是____

分析:注意到$f(x)=\\sqrt{10}\\dfrac{5\\sin x+3}{\\sqrt{(5\\sin x+3)^2+(5\\cos x+4)^2}}$
令$m=5\\sin x+3,n=5\\cos x+4$则$m^2+n^2=25$

故由几何意义$\\sqrt{10}\\dfrac{m}{\\sqrt{m^2+n^2}}=(-\\dfrac{4\\sqrt{10}}{5},\\sqrt{10}]$

 

练习:
函数$y=\\dfrac{|(\\cos \\alpha+\\sqrt{2}\\sin\\alpha)t-\\sqrt{2}|}{\\sqrt{t^2-2\\sqrt{2}t\\cos\\alpha +2}},(t\\in R,\\alpha\\in(0,\\dfrac{\\pi}{2}))$的最大值是_____

 

 

 

分析:$y=\\dfrac{|(\\cos \\alpha-\\sqrt{2})+\\sqrt{2}t\\sin\\alpha|}{(\\cos \\alpha-\\sqrt{2})^2+(t\\sin\\alpha)^2}$
令$m=\\cos \\alpha-\\sqrt{2},n=t\\sin\\alpha$ 则$y=\\dfrac{|m+\\sqrt{2}n|}{\\sqrt{m^2+n^2}}$,

由几何意义,$(1,\\sqrt{2})$到直线$mx+ny=0$距离最大为$\\sqrt{3}$

注:也可以用向量求最大值.$a=(m,n),b=(1,\\sqrt{2})$