BZOJ_3527_[ZJOI2014]_力_(FFT+卷积)

Posted 2020-07-24 晴歌。

描述

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题面:

http://wenku.baidu.com/link?url=D2ORnA9xjgSxa2GlYLB7gGiYgBcXsy-Aw0kVYTjTE-iYhH1s7h8xXGmnaMwl32SYznVvzodyKZgHODl_ekzIFwEsO64ZOMIvQbsah-9kZiW

提交:

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3527

给出n个数字(q1~qn),定义$$F_i=\sum_{j<i}{q_iq_j\over (i-j)^2}-\sum_{j>i}{q_iq_j\over (i-j)^2}$$

然后设$$E_i={F_i\over q_i}$$

求  \(E_i\)

 

分析

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我们先把式子化简一下$$E_i=\sum_{j<i}{q_j\over (i-j)^2}-\sum_{j>i}{q_j\over (i-j)^2}$$

然后我们令$$f[i]=q_i,g[i]={1\over i^2}$$

然后发现左边好像卷积的形式$$c_i=\sum_{j=0}^ia_jb_{i-j}$$

但是没有 \(j=0\) 和 \(j=i\) 的情况.没关系,我们令 \(f[i]=0 , g[i]=0\) .

这样的话原式\(\sum_{j=1}^{i-1}{q_j\over (i-j)^2}\)就和\(\sum_{j=0}^i{q_j\over (i-j)^2}\)相等了

这样左边就是$$A_i=\sum_{j=0}^if[i]g[i-j]$$的卷积了

我们来看右边,右边也很有成为卷积的潜质啊,可是不满足\(0\le{j}\le{i}\)啊.没关系,我们发现左边的式子和右边的式子正好相反,所以我们考虑"倒过来",于是就有