POJ 1845 Sumdiv （整数拆分+等比快速求和）

Posted 2020-07-24 icode-xiaohu

　　当我们拆分完数据以后，

　　A^B的所有约数之和为：

     sum = [1+p1+p1^2+...+p1^(a1*B)] * [1+p2+p2^2+...+p2^(a2*B)] *...*[1+pn+pn^2+...+pn^(an*B)].

　　当时面对等比数列的时候，想到了求和公式，因为直接算超时了，但是带膜除法不能直接除，所以又想到了乘法逆元，但是逆元的使用条件是除数和mod互质的时候，题目给我们的膜不够大，然后我就方了，不知道该怎么去处理了，后来看到网上，才学会了等比快速求和的方法。

　　它的思想是二分法+递归，规律如下：

（1）若n为奇数,一共有偶数项，则：
      1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

      = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2) * (1+p^(n/2+1))
      = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))

（2）若n为偶数,一共有奇数项,则:
      1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

      = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2-1) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)
      = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2);

　至于幂的求法，可以用快速幂去求。代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
///sqrt(50000000) = 7071.07;///数据足够
/// num = a1(q^n - 1)/ (q-1);///方法难以使用
const long long Mod = 9901;
#define maxn 8000
#define LL long long
LL a,b,p[maxn],e[maxn],tot;
void split()
{
    int d = sqrt(a*1.0);///素数因子在它的根号之下
    tot = 0;
    memset(e,0,sizeof(e));
    for(int i = 2; i <= d; i+=2)
    {
        if(a == 1) break;
        if(a%i == 0)
        {
            p[tot] = i;
            while(a % i == 0)
            {
                a /= i;
                e[tot]++;
            }
            tot++;
        }
        if(i == 2) i--;///这种方法求素数很高效
    }
    if(a != 1)
    {
        p[tot] = a;
        e[tot]++;
        tot++;
    }
    for(int i = 0; i < tot; i++)
        e[i] *= b;
    /*for(int i = 0;i < tot;i++){
        printf("p[%d] = %lld   e[%d] = %lld\n",i,p[i],i,e[i]);
    }*/
}
LL mypow(LL a,LL b)
{
    if(b == 0) return 1;
    if(b == 1) return a % Mod;
    if(b % 2 == 0) return mypow(((a%Mod)*(a%Mod))%Mod,b/2)%Mod;
    else return ((a%Mod) * mypow(a%Mod,b-1)) % Mod;
}
LL get_sum(LL a,LL b)
{
    if(b==0) return 1;
    if(b % 2) return ((get_sum(a,b/2)%Mod)*(1+mypow(a,b/2+1))%Mod) % Mod;
    else return ((get_sum(a,b/2-1)%Mod * (1+mypow(a,b/2+1)%Mod))%Mod + mypow(a,b/2)%Mod) % Mod;

}
int main()
{
    while(~scanf("%I64d %I64d",&a,&b))
    {
        split();
        LL ans = 1;
        for(int i = 0;i < tot;i++)
        {
            ans = ans * get_sum(p[i],e[i])%Mod;///这里不可以省略
        }
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}

 

　注意：这里有一个很难发现的错误，在取膜的时候不可以使用 ans ×= 的形式，优先级的不同会让他溢出。