计蒜客课程竞赛入门--数塔问题(DP) 流程记

Posted 2020-07-23

还记得上一节提到的数塔问题么？我们接下来一起解决它吧。
          9
       12 15
     10  6  8
   2  18  9  5
19  7  10  4  15
上面这张图是一个数塔问题的例子。每次从顶部元素，就是上图中的9出发，每次可以走到下面相邻的两个节点，比如从9往下相邻的是12和15，6往下相邻的是18和9。找到一条从顶部到底部的路径，使得路径上的数值和最大。

一个直观的贪心策略是每次向下走都选择较大的那一个，得到的一个解是9+15+8+9+10=51，然而我们发现最优的解是9+12+10+18+10=59，也就是说这道题并不适合贪心策略。

接下来我们把问题分解，假如知道从顶点到每个点的最优解的话，最终答案也就能够得出了。假设第i行第j个元素为止的最优解为f[i][j]，可以想到f[i][j]只和f[i-1][j]和f[i-1][j-1](如果存在的话)有关。也就是说第i行的解只会跟第i-1行的一个或两个元素有关。

具体怎么有关我们下面再讲，我们先按照这个思路把前面的代码写出来吧(つω`*)

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 using namespace std;
 4 const int N = 100;
 5 // 下面这个函数实现的是更新最大值，o赋值为o和x的最大值
 6 template <class T>
 7 void updateMax(T& o, const T& x) {
 8     o = (o > x) ? o : x;
 9 }
10 
11 // f数组为动态规划的状态数组
12 // num数组为读入的数塔
13 // n为读入的数塔高度
14 int f[N][N], num[N][N], n;
15 
16 int main() {
17     // 读入n和数塔数组num
18     scanf("%d", &n);
19     for (int i = 1; i <= n; ++i) {
20         for (int j = 1; j <= i; ++j) {
21             scanf("%d", &num[i][j]);
22         }
23     }
24 
25     // step 1 begin: 在这里实现动态规划算法逻辑
26     for(int i=1;i<=n;++i)
27     {
28         for(int j=1;j<=i;++j)
29         {
30             updateMax(f[i][j],max(f[i-1][j],f[i-1][j-1])+num[i][j]);
31         }
32     }
33     // step 1 end.
34 
35     // 定义最终结果变量result，因为是计算最大值，所以初始化为0
36     int result = 0;
37     for (int i = 1; i <= n; ++i) {
38         // step 2 begin: 在这里实现更新最终结果的逻辑
39         updateMax(result,f[n][i]);
40         // step 2 end.
41     }
42     // 输出最终最大权值和result
43     printf("%d\n", result);
44     return 0;
45 }