HDU 4828 Grids（卡特兰数+乘法逆元）

Posted 2020-07-23 icode-xiaohu

　　首先我按着我的理解说一下它为什么是卡特兰数，首先卡特兰数有一个很典型的应用就是求1~N个自然数出栈情况的种类数。而这里正好就对应了这种情况。我们要满足题目中给的条件，数字应该是从小到大放置的，1肯定在左上角，所以1入栈，这时候我们放2，如果我们把2放在了1的下面就代表了1出栈，把2放在上面就代表了2也进栈（可以看一下hint中第二组样例提示），以此类推，这样去放数，正好就对应了上面一行入栈，下面一行出栈的情况，一共n行，对应上限为n的卡特兰数。

　　需要注意的地方就是在使用卡特兰数递推式的时候，除法是不遵循同余膜定理的，所以需要用到乘法逆元，设我们要除的数为n，取的膜为mod，那么n的乘法逆元就是，当n与mod互质的时候，通过欧几里得定理n*x + y*mod = gcd(n,m)得到x，将x处理为（x%mod + mod）% mod的形式，就是我们要的乘法逆元。

　　代码如下：

　　

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 1000010
#define mod 1000000007
#define LL long long
LL ktl[maxn],x,y;
LL exgcd(LL a,LL b)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    LL gcd = exgcd(b,a%b);
    LL tmp;
    tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - a/b * y;
    return gcd;
}
LL yiyuan(int n)
{
    LL gcd = exgcd(n,mod);
    if(gcd == 1)
    return (x%mod + mod) % mod;
}
void init()
{
    memset(ktl,0,sizeof(ktl));
    ktl[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= maxn-10; i++)
    {
        ktl[i] = (ktl[i-1]*(4*i-2)%mod * yiyuan(i+1)) % mod;
    }
}
int main()
{
    int t,n,ca = 0;
    init();
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("Case #%d:\n",++ca);
        printf("%I64d\n",ktl[n]);
    }
    return 0;
}