HDU 4035：Maze 概率DP求期望（有环）

Posted 2020-07-23 kiuhghcsc

Maze

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4035

题意：

有N（2 ≤ N ≤ 10000）个房间和一堆双向边（不存在环），每个房间有ki和ei两个值，分别代表回到房间1和游戏结束的概率，求游戏结束时通过的边数的期望

 

题解：

一道很好很经典的求期望的题

设E[i]为以i为起点，直到游戏结束所通过边数的期望，则E[1]即所求答案

设fa代表父亲节点（由于不存在环，则图为一棵树，设1为根节点），∑ch代表所有孩子节点，size代表与这个房间直接相连的房间数,设X=1-ki-ei

可以推导出 E[i]=ki*E[1]+X*(1/size*(E[fa]+1/size*∑E[ch])+1)---公式1

设 E[i]=a[i]*E[1]+b[i]*E[fa]+c[i]

则 ∑E[ch]=∑(a[ch]*E[1]+b[ch]*E[i]+c[ch])

代入公式1可得 E[i]=( (ki+X/size*∑a[ch])*E[1]+X/size*∑E[fa]+X+X/size*∑(c[ch]) ) /(1-X/size*b[ch])

对比可得

　　a[i]=(ki+X/size*∑a[ch])/(1-X/size*b[ch])

　　b[i]=X/size/(1-X/size*b[ch])

　　c[i]=(X+X/size*c[ch])/(1-X/size*b[ch])

E[1]=a[1]*E[1]+b[1]*E[fa]+c[1]=(a[1]*E[fa]+c[1])/(1-a[1])=c[1]/(1-a[1])

　　　　　　　　　　　　　

代码

#include<stdio.h>
#include<vector>
#include<math.h>
using namespace std;
const int N=10005;
const double eps=1e-9;
vector<int>q[N];
bool mark[N];
int fa[N],out[N],que[N],head,tail;
double k[N],e[N],A,B,C;
void dfs(int x=1)
{
　　bool leaf=true;
　　double p=1-k[x]-e[x];
　　mark[x]=true;
　　int m=q[x].size();
　　double a=0.0,b=0.0,c=0.0;
　　for(int i=0;i<q[x].size();++i)
　　{
　　　　fa[q[x][i]]=x;
　　　　if(!mark[q[x][i]])
　　　　{
　　　　　　leaf=false;
　　　　　　dfs(q[x][i]);
　　　　　　a+=A,b+=B,c+=C;
　　　　}
　　}
　　if(leaf)
　　{
　　　　A=k[x];
　　　　B=C=p;
　　}
　　else
　　{
　　　　A=(k[x]+p/m*a)/(1-p/m*b);
　　　　B=p/m/(1-p/m*b);
　　　　C=(p+p/m*c)/(1-p/m*b);
　　}
}
int main()
{
　　int T,n,x,y,leaf,w=0;
　　scanf("%d",&T);
　　while(T--)
　　{
　　　　scanf("%d",&n);
　　　　for(int i=1;i<=n;++i)
　　　　out[i]=0,mark[i]=false,q[i].clear();
　　　　for(int i=1;i<n;++i)
　　　　{
　　　　　　scanf("%d%d",&x,&y);
　　　　　　q[x].push_back(y);
　　　　　　q[y].push_back(x);
　　　　}
　　　　for(int i=1;i<=n;++i)
　　　　{
　　　　　　scanf("%lf%lf",&k[i],&e[i]);
　　　　　　k[i]/=100.0,e[i]/=100.0;
　　　　}
　　　　dfs();
　　　　printf("Case %d: ",++w);
　　　　if(fabs(1-A)<eps)printf("impossible\n");
　　　　else printf("%.6f\n",C/(1-A));
　　}
}