BZOJ 3669 Noi2014 魔法森林

Posted 2020-07-23 lcf2000

Description

为了得到书法大家的真传，小E同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐士。魔法森林可以被看成一个包含个N节点M条边的无向图，节点标号为1..N，边标号为1..M。初始时小E同学在号节点1，隐士则住在号节点N。小E需要通过这一片魔法森林，才能够拜访到隐士。

魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候，这条边上的妖怪就会对其发起攻击。幸运的是，在号节点住着两种守护精灵：A型守护精灵与B型守护精灵。小E可以借助它们的力量，达到自己的目的。

只要小E带上足够多的守护精灵，妖怪们就不会发起攻击了。具体来说，无向图中的每一条边Ei包含两个权值Ai与Bi。若身上携带的A型守护精灵个数不少于Ai，且B型守护精灵个数不少于Bi，这条边上的妖怪就不会对通过这条边的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中没有任意一条边的妖怪向小E发起攻击，他才能成功找到隐士。

由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事，小E想要知道，要能够成功拜访到隐士，最少需要携带守护精灵的总个数。守护精灵的总个数为A型守护精灵的个数与B型守护精灵的个数之和。

Input

第1行包含两个整数N,M，表示无向图共有N个节点，M条边。 接下来M行，第行包含4个正整数Xi,Yi,Ai,Bi，描述第i条无向边。其中Xi与Yi为该边两个端点的标号，Ai与Bi的含义如题所述。 注意数据中可能包含重边与自环。

Output

输出一行一个整数：如果小E可以成功拜访到隐士，输出小E最少需要携带的守护精灵的总个数；如果无论如何小E都无法拜访到隐士，输出“-1”（不含引号）。

Sample Input

【输入样例1】
4 5
1 2 19 1
2 3 8 12
2 4 12 15
1 3 17 8
3 4 1 17
【输入样例2】
3 1
1 2 1 1

Sample Output

【输出样例1】

32
【样例说明1】
如果小E走路径1→2→4，需要携带19+15=34个守护精灵；
如果小E走路径1→3→4，需要携带17+17=34个守护精灵；
如果小E走路径1→2→3→4，需要携带19+17=36个守护精灵；
如果小E走路径1→3→2→4，需要携带17+15=32个守护精灵。
综上所述，小E最少需要携带32个守护精灵。
【输出样例2】
-1
【样例说明2】
小E无法从1号节点到达3号节点，故输出-1。

HINT

2<=n<=50,000

0<=m<=100,000

1<=ai ,bi<=50,000

 

　　话说这道题被神犇xzy推荐给我写spfa入门题，然后狂TLE不止...把这道题当成入门题给我我也是醉了......

　　这一题其实我们只需将边按a权值排序，再一条边一条边地插入，每次跑一遍最短路即可轻松AC。(?)

　　好吧，其实spfa还是我很久以前写的了。显然裸的spfa肯定是跑不过的，于是我们需要加一点小小的优化，那就是每次不清空dis数组，改为直接将新边连接的两个点加入队列，跑一遍spfa(话说我也不知道这为什么复杂度是对的【其实是不对的】)就可以AC了。

　　下面贴代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstdlib>
 4 #include<cstring>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<cmath>
 7 #define maxn 100001
 8 #define INF 2147483647
 9 
10 using namespace std;
11 typedef long long llg;
12 
13 struct data{
14     int t,f,c1,c2;
15     bool operator < (const data &h)const{return c1<h.c1;}
16 }s[maxn];
17 int head[maxn],to[maxn<<1],next[maxn<<1],l,r;
18 int c[maxn<<1],dis[maxn],d[maxn],n,m,tt,ans;
19 bool w[maxn];
20 
21 int getint(){
22     int w=0,q=0;
23     char c=getchar();
24     while((c<‘0‘||c>‘9‘)&&c!=‘-‘) c=getchar();
25     if(c==‘-‘) q=1,c=getchar();
26     while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘) w=w*10+c-‘0‘,c=getchar();
27     return q?-w:w;
28 }
29 
30 void spfa(){
31     d[r++]=1;w[1]=1;
32     while(l!=r){
33         int u=d[l++];l%=maxn;w[u]=0;
34         for(int i=head[u],v;v=to[i],i;i=next[i])
35             if(dis[v]==-1 || dis[v]>max(dis[u],c[i])){
36                 dis[v]=max(dis[u],c[i]);
37                 if(!w[v]){
38                     w[v]=1;d[r++]=v;
39                     r%=maxn;
40                 }
41             }
42     }
43 }
44 
45 int main(){
46     n=getint();m=getint();
47     memset(dis,-1,sizeof(dis));
48     for(int i=1;i<=m;i++){
49         s[i].t=getint();s[i].f=getint();
50         s[i].c1=getint();s[i].c2=getint();
51     }
52     sort(s+1,s+m+1);ans=INF;dis[1]=0;
53     for(int i=1;i<=m;i++){
54         int f=s[i].f,t=s[i].t;
55         to[++tt]=f;next[tt]=head[t];head[t]=tt;
56         to[++tt]=t;next[tt]=head[f];head[f]=tt;
57         c[tt-1]=c[tt]=s[i].c2;l=r=0;
58         if(dis[t]!=-1) d[r++]=t,w[t]=1;
59         if(dis[f]!=-1) d[r++]=f,w[f]=1;
60         spfa();
61         if(dis[n]!=-1) ans=min(ans,dis[n]+s[i].c1);
62     }
63     if(ans==INF) printf("-1");
64     else printf("%d",ans);
65 }

　　好吧，下面我还是准备讲讲复杂度很对的一种做法。我们仍然将边按a权值排序，然后我们只要快速求出1到n的最小生成树(或者最短路也可以)。虽然spfa可以跑过，但这个算法复杂度毕竟不对，我们还是要追求一种复杂度比较对的算法。其实，我们只要动态维护最小生成树就可以了。那么用什么呢？CDQ图分治或许可以，但我选择了LCT。其实以前我对于边带权值的动态树我一直是懵逼的，直到%了hzwer大神的题解http://hzwer.com/3845.html ，我才发现了一种极其优秀的做法。我们可以把边也建成节点，而且只有边所代表的节点才有权值。这样就非常好做了是不？我们splay上维护一个区间最大值不就可以了是么？剩下的就是link-cut-tree的模板了。

　　我觉得这道题是一道LCT的好题。如果你还不会LCT，请前往：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2002  弹飞绵羊

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2049 洞穴勘测

　　如果你会LCT但是就是A不了这题，推荐你还是仔细啃一啃这道题的代码吧。

　　这道题AC代码(LCT)如下：

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<cstring>
  4 #include<algorithm>
  5 #include<cmath>
  6 #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
  7 #define maxn 150010
  8 #define maxm 100010
  9 
 10 using namespace std;
 11 typedef long long llg;
 12 
 13 struct data{
 14     int u,v,a,b;
 15     bool operator < (const data &h)const{return a<h.a;}
 16 }ss[maxm];
 17 int val[maxn],s[maxn][2],fa[maxn],maxv[maxn],d[maxn],ans,n,m;
 18 bool rev[maxn];
 19 
 20 int getint(){
 21     int w=0;bool q=0;
 22     char c=getchar();
 23     while((c>‘9‘||c<‘0‘)&&c!=‘-‘) c=getchar();
 24     if(c==‘-‘) q=1,c=getchar();
 25     while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘) w=w*10+c-‘0‘,c=getchar();
 26     return q?-w:w;
 27 }
 28 
 29 bool isroot(int x){return x!=s[fa[x]][0] && x!=s[fa[x]][1];}
 30 int findrt(int x){while(fa[x]) x=fa[x];return x;}
 31 
 32 void update(int x){
 33     int l=s[x][0],r=s[x][1];maxv[x]=x;
 34     if(val[maxv[l]]>val[maxv[x]]) maxv[x]=maxv[l];
 35     if(val[maxv[r]]>val[maxv[x]]) maxv[x]=maxv[r];
 36 }
 37 
 38 void R(int x){
 39     int p=fa[x],g=fa[p];
 40     bool l=(x==s[fa[x]][0]),r=!l;
 41     if(!isroot(p)) s[g][p==s[g][1]]=x;
 42     fa[s[x][l]]=p; s[p][r]=s[x][l];
 43     fa[p]=x; s[x][l]=p; fa[x]=g;
 44     update(p); update(x);
 45 }
 46 
 47 void splay(int x){ //将x旋到当前splay的根节点
 48     d[d[0]=1]=x;
 49     for(int i=x;!isroot(i);i=fa[i]) d[++d[0]]=fa[i];
 50     for(int i=d[0],u;u=d[i],i;i--)
 51         if(rev[u]){
 52             swap(s[u][0],s[u][1]);rev[u]=0;
 53             rev[s[u][0]]^=1;rev[s[u][1]]^=1;
 54         }
 55     while(!isroot(x)){
 56         int p=fa[x],g=fa[p];
 57         if(!isroot(p)){
 58             if((x==s[p][0])^(p==s[g][0])) R(x);
 59             else R(p);
 60         }
 61         R(x);
 62     }
 63 }
 64 
 65 void access(int u){ //将u到splay根节点的路径打通
 66     for(int t=0;u;t=u,u=fa[u])
 67         splay(u),s[u][1]=t,update(u);
 68 }
 69 
 70 void makert(int u){ //把u换到它所在splay的根,并把沿途路径反向
 71     access(u);
 72     splay(u);rev[u]^=1;
 73 }
 74 
 75 int query(int u,int v){ //查询u到v的边中的最大值
 76     makert(u);access(v);splay(v);
 77     return maxv[v];
 78 }
 79 
 80 void cut(int u,int v){ //把u和v的连接断掉,谁是父亲无关紧要
 81     makert(u);access(v);splay(v);
 82     s[v][0]=fa[u]=0; update(v);
 83 }
 84 
 85 void link(int u,int v){ //把u的父亲变成v
 86     makert(u);fa[u]=v;
 87 }
 88 
 89 int main(){
 90     File("a");
 91     n=getint();m=getint();
 92     for(int i=1;i<=m;i++){
 93         ss[i].u=getint();ss[i].v=getint();
 94         ss[i].a=getint();ss[i].b=getint();
 95     }
 96     sort(ss+1,ss+m+1);ans=(1<<30);
 97     for(int i=1,u,v,t;i<=m;i++){
 98         u=ss[i].u;v=ss[i].v;
 99         if(findrt(u)==findrt(v)){
100             t=query(u,v);
101             if(val[t]>ss[i].b){
102                 cut(ss[t-n].u,t);
103                 cut(ss[t-n].v,t);
104             }
105             else{
106                 if(findrt(1)==findrt(n))
107                     ans=min(ans,ss[i].a+val[query(1,n)]);
108                 continue;
109             }
110         }
111         val[i+n]=ss[i].b;maxv[i+n]=i+n;
112         link(u,i+n);link(v,i+n);
113         if(findrt(1)==findrt(n))
114             ans=min(ans,ss[i].a+val[query(1,n)]);
115     }
116     printf(ans==(1<<30)?"-1":"%d",ans);
117     return 0;
118 }