Permutation Sequence

Posted 2020-07-22 Sheryl Wang

The set [1,2,3,…,n] contains a total of n! unique permutations.

By listing and labeling all of the permutations in order,
We get the following sequence (ie, for n = 3):

1. "123"
2. "132"
3. "213"
4. "231"
5. "312"
6. "321"

 

Given n and k, return the kth permutation sequence.

Note: Given n will be between 1 and 9 inclusive.

这题蛮有意思，按照之前permutation的思路挨个枚举，直到枚举到当前位置，这种做法很不幸超时了，仔细想想也是，这题并不需要把之前每一步permutation的结果都获取到，来到当前结果，所以一个更好的办法是基于组合数学的。即根据k的大小，直接估计所要求的数。具体思路可以参考 Yanbing Shi的博客

同样先通过举例来获得更好的理解。以n = 4，k = 9为例：

 

1234

1243

1324

1342

1423

1432

2134

2143

2314  <= k = 9

2341

2413

2431

3124

3142

3214

3241

3412

3421

4123

4132

4213

4231

4312

4321

 

最高位可以取{1, 2, 3, 4}，而每个数重复3! = 6次。所以第k=9个permutation的s[0]为{1, 2, 3, 4}中的第9/6+1 = 2个数字s[0] = 2。

 

而对于以2开头的6个数字而言，k = 9是其中的第k‘ = 9%(3!) = 3个。而剩下的数字{1, 3, 4}的重复周期为2! = 2次。所以s[1]为{1, 3, 4}中的第k‘/(2!)+1 = 2个，即s[1] = 3。

 

对于以23开头的2个数字而言，k = 9是其中的第k‘‘ = k‘%(2!) = 1个。剩下的数字{1, 4}的重复周期为1! = 1次。所以s[2] = 1.

 

对于以231开头的一个数字而言，k = 9是其中的第k‘‘‘ = k‘‘/(1!)+1 = 1个。s[3] = 4

代码如下：

class Solution(object):
    def getPermutation(self, n, k):
        """
        :type n: int
        :type k: int
        :rtype: str
        """
        nums = range(1,n+1)
        res = []
        factorial = [1] * n
        for i in xrange(1, n):
            factorial[i] = factorial[i-1]*i
        i = n-1
        k -= 1
        while  i >= 0:
            index = k / factorial[i]
            res.append(str(nums.pop(index)))
            k = k % factorial[i]
            i -= 1

        return ‘‘.join(res)

值得注意的是k一开始要减1，因为pop数的时候最终需要pop第0位。比如对1，1的例子，1/1=1，但是此时只有一位，是无法pop出结果的，所以将k先减1是比较好的做法。

这种做法时间复杂度位O(n^2),按index pop是O(n)的时间复杂度，而空间复杂度也为O(n).