一个极限问题

Posted 2021-01-24 彭道意的数学博客

一个极限问题

最近（11月），考虑了如下问题，好友马明辉给出了一个解答（见微信公众号：Xionger 的数学小屋），然而，我只写出了第一问，哈哈。

设 $x_{n}$ $(n\geqslant 2)$ 是如下方程 \begin{equation}\label{eq:1} x^{-n} = \sum_{k=1}^{\infty} (x+k)^{-n} \end{equation} 唯一的正数解. (i) 判断极限 $\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{x_{n}}{n}$ 是否存在, 若存在求出此极限. (ii) 若 $\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{x_{n}}{n} = A$, 证明 $\lim\limits_{n\to +\infty} n \left(\frac{x_{n}}{n} - A \right)$ 存在, 再求极限. (iii) 若 (ii) 中得到的极限是 $B$, 证明 $\lim\limits_{n\to +\infty} n \left[n\left(\frac{x_{n}}{n} - A \right)-B \right]$ 存在, 并证明该极限值是无理数.

 方程 \eqref{eq:1} 右边容易想到 Hurwitz zeta 函数 \begin{equation}\label{eq:2} \zeta(n,x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(x+k)^{n}} = \frac{1}{x^{n}} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(x+k)^{n}}, \end{equation} 则原方程 \eqref{eq:1} 化为 \begin{equation}\label{eq:3} \zeta(n,x) = \frac{2}{x^{n}}. \end{equation} 接着我们要考虑 Polygamma 函数与 Hurwitz zeta 函数的关系 \begin{equation}\label{eq:4} \psi^{(n-1)} (x) = (-1)^{n} (n-1)! \zeta(n,x), \end{equation} 以及 Polygamma 函数的 Laurent 级数表达式 \begin{equation}\label{eq:5} \psi^{(n-1)} (x) = (-1)^{n} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k+n-2)!}{k!} \frac{B_{k}}{x^{k+n-1}}. \end{equation} 由 \eqref{eq:4} 和 \eqref{eq:5} 即得 \begin{equation}\label{eq:6} \zeta(n,x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k+n-2)!}{k!(n-1)!} \frac{B_{k}}{x^{k+n-1}}, \end{equation} 结合 \eqref{eq:3} 式, 我们有 \begin{equation}\label{eq:7} 2 = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(k+n-2)!}{k!(n-1)!} \frac{B_{k}}{x^{k-1}}, \end{equation} 其中 $B_{k}$ 是 Bernoulli 数. 将 $B_{0}=1$, $B_{1}=\frac{1}{2}$ 代入 \eqref{eq:7} , 得 \begin{equation*} 2 = \frac{x}{n-1} + \frac{1}{2} + \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(k+n-2)!}{k!(n-1)!} \frac{B_{k}}{x^{k-1}}, \end{equation*} 移项, 乘 $n-1$ 得 \begin{equation*} x = \frac{3}{2} n - \frac{3}{2} - \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(k+n-2)!}{k!(n-2)!} \frac{B_{k}}{x^{k-1}} \end{equation*} 因为对于奇数 $k\geqslant 3$, $B_{k}=0$. 令 $k=2j$, 则 \begin{equation}\label{eq:8} x = \frac{3}{2} n - \frac{3}{2} - \sum_{j=1}^{\infty} \frac{(2j+n-2)!}{(2j)!(n-2)!} \frac{B_{2j}}{x^{2j-1}}. \end{equation} 两边除以 $n$, \begin{equation*} \frac{x}{n} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\frac{1}{n} - \sum_{j=1}^{\infty} \frac{(2j+n-2)!}{n(n-2)!} \frac{B_{2j}}{(2j)!x^{2j-1}}. \end{equation*} 令 $\frac{x}{n} = \frac{1}{2y}$, 即 $ \frac{1}{x} = \frac{2y}{n}$, 则有 \begin{align*} \frac{1}{2y} & = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\frac{1}{n} - \sum_{j=1}^{\infty} \frac{(2j+n-2)!}{n(n-2)!} \frac{B_{2j}}{(2j)!} \frac{2^{2j-1}y^{2j-1}}{n^{2j-1}} \\ & = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\frac{1}{n} - \sum_{j=1}^{\infty} \frac{(2j+n-2)!}{n^{2j}(n-2)!} \frac{B_{2j}2^{2j-1}y^{2j-1}}{(2j)!}. \end{align*} 两边乘以 $2$, 移项得 \begin{equation}\label{eq:9} \frac{1}{y} + \sum_{j=1}^{\infty} \frac{(2j+n-2)!}{n^{2j}(n-2)!} \frac{2^{2j}B_{2j}y^{2j-1}}{(2j)!} = 3- \frac{3}{n}. \end{equation} 注意到 \begin{equation*} \lim_{n\to +\infty} \frac{(2j+n-2)!}{n^{2j}(n-2)!} = 1, \end{equation*} 且 $0<y<\pi$. 设 $\lim\limits_{n\to +\infty} y = z$, 当 $n \to +\infty$ 时, \eqref{eq:9} 式左边为双曲余切函数 \begin{equation*} \coth z = \frac{1}{z} + \sum_{j=1}^{\infty} \frac{2^{2j}B_{2j}z^{2j-1}}{(2j)!}, \end{equation*} 从而 \begin{equation*} \coth z = \frac{\mathrm{e}^{z}+\mathrm{e}^{-z}}{\mathrm{e}^{z}-\mathrm{e}^{-z}} = \frac{\mathrm{e}^{2z}+1}{\mathrm{e}^{2z}-1} = 3. \end{equation*} 解得 \begin{equation*} z = \frac{\log 2}{2} = \lim_{n\to +\infty} y, \end{equation*} 所以 \begin{equation*} \lim_{n\to +\infty} \frac{x}{n} = \lim_{n\to +\infty} \frac{1}{2y} = \frac{1}{\log 2}. \end{equation*}