[忘记高数]Hesse矩阵

Posted 2020-07-21 羽夜

更新：5 JUN 2016

【多元函数Taylor展开】n元函数\\(y=f(X)\\)在\\(X_0\\)点的某个领域\\(B(X_0,r)\\)内二阶连续可微，则\\(\\forall X\\in B(X_0,r), \\exists \\theta\\in (0,1)\\)，使得

\\(f(X)=f(X_0)+Jf(X_0)\\Delta X+\\dfrac{1}{2}(\\Delta X)^TH(X_0+\\theta\\Delta X)\\Delta X\\)

其中\\(\\Delta X=X-X_0\\)为n维列向量；

\\(Jf(X_0)\\)即\\(f(X)\\)在\\(X_0\\)处的Jacobi矩阵；

\\(H(X)\\)为\\(f(X)\\)在\\(X\\)处的Hesse矩阵。

上面的写法照应Lagrange型余项。当然也可以写成高一阶的Peano型余项形式

\\(f(X)=f(X_0)+Jf(X_0)\\Delta X+\\dfrac{1}{2}(\\Delta X)^TH(X_0)\\Delta X+\\alpha(\\Delta X)\\)

 

【Hesse矩阵】

\\(H(X)=\\begin{bmatrix} \\dfrac{\\partial^2 f}{\\partial x_1\\partial x_1} & \\dfrac{\\partial^2 f}{\\partial x_1\\partial x_2} & \\cdots &\\dfrac{\\partial^2 f}{\\partial x_1\\partial x_n} \\\\ \\dfrac{\\partial^2 f}{\\partial x_2\\partial x_1} & \\dfrac{\\partial^2 f}{\\partial x_2\\partial x_2} &\\cdots& \\dfrac{\\partial^2 f}{\\partial x_2\\partial x_n} \\\\ \\vdots& & & \\vdots \\\\ \\dfrac{\\partial^2 f}{\\partial x_n\\partial x_1} &\\dfrac{\\partial^2 f}{\\partial x_n\\partial x_2} & \\cdots &\\dfrac{\\partial^2 f}{\\partial x_n\\partial x_n}  \\end{bmatrix} \\)

对于n元函数，相当于是n元m=1维向量值函数，其Jacobi矩阵即其梯度向量的转置（见Jacobi矩阵），可以视为其一阶导数；

那么n元函数的Hesse矩阵相当于其二阶导数。

 

【应用】在计算化学中求势能面（能量作为多元函数）中某极值点处的曲面近似时即使用Taylor展开，这时要计算Hesse矩阵。