[忘记高数]Jacobi矩阵与Jacobi行列式

Posted 2020-07-21 羽夜

更新：5 JUN 2016

【向量值函数】\(Y=\textbf{f}(X): \Omega\subset\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m\)

可以看作m个分量函数

\(y_1=f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)

\(y_2=f_2(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)

……

\(y_m=f_m(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)

 

【Jacobi矩阵】

\(J\textbf{f}(X)=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots &\dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \dfrac{\partial f_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_2} &\cdots& \dfrac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots& & & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} &\dfrac{\partial f_m}{\partial x_2} & \cdots &\dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}  \end{bmatrix} \)   记作  \(J\textbf{f}(X)=\dfrac{\partial(f_1,f_2,\cdots,f_m)}{\partial(x_1,x_2,\cdots,x_n)}\)

每行中自变量的下标递增；每列中分量函数的下标递增。是一个m行n列\(m\times n\)的矩阵。

Jacobi矩阵中每一行看作一个n维向量的话，是该行分量函数的梯度函数。

Jacobi矩阵是向量值函数\(f\)在\(X\)点的导数：\(\Delta Y=\textbf{f}(X_0+\Delta X)-\textbf{f}(X_0)=A\Delta X+\textbf{o}(\Delta X),\qquad A=J\textbf{f}(X_0)\)

 

【Jacobi行列式】

若向量值函数\(m=n\)，则其Jacobi矩阵的行列式为Jacobi行列式，记作\(\dfrac{D(f_1,f_2,\cdots,f_m)}{D(x_1,x_2,\cdots,x_n)}\)

如果连续可微函数f在P点的Jacobi行列式不是零，那么它在该点附近具有反函数。