[我也不知道来源是哪] 一道数论题

Posted 2021-01-18 蒟蒻JHY

题面：

    求所有 满足 a+b<=n 且 (a+b)|(a*b) 的有序对 (a,b)。

    n<=10^14.

 

sol：

    推一推就好啦，设 d = gcd(a,b) , a‘=a/d , b‘=b/d。

    那么题目相当于要求 (a‘+b‘)*d <=n 且 (a‘+b‘) | d 的三元组 (a‘,b‘,d)。

    可以发现 gcd(a‘,b‘)=1，所以枚举一下 a‘+b‘ （显然最大只有sqrt(n)）,然后算一下贡献就好啦。

 

/*
    ∑∑[i+j<=n] * [i+j | i*j]
    ∑∑[i‘+j‘<=n/d] * [i‘+j‘ | d]
    ∑φ(i) *  [n/i^2]
*/

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=10000000;

int zs[N/10+5],t=0,phi[N+5],m;
bool v[N+5];
ll ans,n;

inline void init(){
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=m;i++){
		if(!v[i]) zs[++t]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1,u;j<=t&&(u=zs[j]*i)<=m;j++){
			v[u]=1;
			if(!(i%zs[j])){ phi[u]=phi[i]*zs[j]; break;}
			phi[u]=phi[i]*(zs[j]-1);
		}
	}
}

inline void solve(){
	for(int i=2;i<=m;i++) ans+=phi[i]*(n/(i*(ll)i));
}

int main(){
	scanf("%lld",&n),m=(int)floor(sqrt(n+0.5)),init();
	solve(),printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}