深入理解计算机系统

Posted 2020-07-20 AsenYang

深入理解计算机系统（3）

本文我们主要讲关于数据的的表示方式：原码，反码和补码。

本文在写作过程中，参考了园中的这篇文章《原码，反码，补码详解》，特此声明。

 

一原码

计算机中是使用二进制来表示数据的，对于C语言这样的强类型语言，每一个数值类型，都有其范围，例如一个int类型，在32位机器上，其表示的范围如下：

	最小值	最大值
有符号整数	-2147483648	217483647
无符号整数	0	4294967295

而如果我们定义了一个int类型，给其的赋值，超出了这个范围，则会出现问题。一般编译器会检查这个问题，会出现编译错误。

 

为了简单，我们以一个char类型（8位）来进行举例：

	最小值	最大值
有符号char	-128	127
无符号char	0	255

 

那么什么是原码呢：原码是二进制的一种表示方式，其规特点是：

无符号数的每一位都是数字位，

有符号数的最高位是符号位，0表示正数，1表示负数，其余各位表示数值。

1.1无符号数的原码

先说无符号的情况，我们选择几个值

十进制	二进制原码
0	00000000
127	01111111
128	10000000
255	11111111

可见最高位为1，表示十进制的数字128，8位全部都是1，表示255。

 

例如计算两个数字1和1相加：

	十进制	无符号二进制原码表示
加数1	1	00000001
加数2	1	00000001
求和	2	00000010

 

因此，对于一个无符号数，使用原码表示是正常的。

 

1.2有符号数的原码

对于有符号数，用原码表示负数，要怎么表示呢？

因为是二进制，也就只有0和1两种符号，于是就定义最高位为符号位：最高位为0的原码，表示一个非负数；最高位为1的原码，表示一个负数。

 

十进制	无符号原码	有符号原码
0	00000000	00000000
127	01111111	01111111
-127	超出范围，无法表示	11111111
255	11111111	超出范围，无法表示

由上面的表格，我们可以发现原码表示的特点：

1对于一个非负数，在不超出其表示范围的前提下，无符号数和有符号数的原码表示形式是一样的；

2对于一个负数（有符号数），在不超出其表示范围的前提下，其最高位为1，而其余各位与无符号数一样。

 

那么如果我们在进行计算的时候，使用原码来对两个有符号数进行二进制加法运算会怎么样呢？

两个数都非负数，计算结果是是正确的；

如果有一个数是负数，就会出现问题：

例如：计算如下的两个数字，1和-1相加：

	十进制	有符号二进制原码表示
加数1	1	00000001
加数2	-1	10000001
求和	-2	10000010

 

1+(-1) = -2

这显然，不是我们想要的结果。

 

如果想用原码表示，就需要计算机对负数的原码进行特殊的处理。如上面的例子，加数2的值是10000001，那么最高位不参与计算，只用于标记这是一个负数。然后将一个正数和另一个负数的加法，转变为两个正数的减法。

即将1+(-1)变为1-1，按照二进制的减法运算法则，得到

	十进制	有符号二进制原码表示
被减数	1	00000001
减数	1	00000001
求差	0	00000000

 

1-1=0

这样就得到了，我们想要的结果。

这样看起来似乎也是可以接受的，那我们再算一些其他的数字，例如1+(-2)，按照上面的规则，我们要将其变为1-2

	十进制	有符号二进制原码表示
被减数	1	00000001
减数	2	00000002
求差	?	?

由于1小于2，因此1减2，等于2减1，再对结果求其相反数。根据减法的规则，1-2= - (2-1)

	十进制	有符号二进制原码表示
被减数	2	00000002
减数	1	00000001
求差	1	00000001
求反	-1	10000001

这样我们也得到了，正确的结果。

但是我们要注意以下几点问题：

1要判断运算数中是否有负数

2可能将加法运算变为减法运算

3可能要求其相反数

可见，本来一个简单的加法的运算，由于负数的问题，变得复杂了。而要处理这些问题，计算机需要一些额外存储空间，以及额外的计算步骤。相应的电路的设计就要更加复杂。

结论：复杂度高，不适合。

二反码

如果使用原码可以很方面的进行计算的话，我也就不会使用反码的方式来表示二进制了。

从上一节可以发现，使用原码的方式在做负数的加法时，比较麻烦。

而负数，表示的是一个正数的相反数，那么我们将一个二进制数按位取反，会有怎样的现象呢？

我们看以下这些数字。

原始值	无符号数原码	原码按位取反	去反后的值
0	00000000	11111111	255
127	01111111	10000000	128
255	11111111	00000000	0

 

可以看出，无符号数，二进制按位取反，其结果为原值被最大值（255）减，即：

0按位取反表示255 – 0 = 255

127按位取反表示 255 – 127 = 128

255按位取反表示 255 – 255 = 0

 

那么对于有符号数有是什么样呢？我们看以下有符号数字，原码符号位不变，数字位按位取反的计算结果

原始值	有符号数原码	原码按位取反	取反后的值
-127	11111111	10000000	-0
-3	10000011	11111100	-124
-1	10000001	11111110	-126
0	00000000	01111111	127
1	00000001	01111110	126
3	00000011	01111100	124
127	01111111	00000000	0

可以看出，有符号数，除了符号位，二进制按位取反，其结果的绝对值为原值被最大值（127）减，即：

-127按位取反表示- (127 – 127 ) = -0

-3按位取反表示 – (127 – 3 ) = - 124

0按位取反表示 +（127 – 0 ）= 127

3按位取反表示+(127 – 3) = 124

127按位取反表示+（127 – 127 ）= 0

 

 

 

那么如果我们在计算有符号数加法时，我们可以得到如下的四种情况

	使用原码	使用原码取反
正数
负数

 

我们按照这四种情况分别计算1 + (-1)，使用二进制加法，看看有什么有趣的现象

 

1正数使用机器码，负数使用机器码

 

在计算符号不同的两个数值的加法时，最终结果的符合与绝对值大的那个相同。

但是如果两个数值不为0，且互为相反数，那最终的结果的符号就不一定了。

 

	十进制	有符号二进制原码表示
加数1	1	00000001
加数2	-1	10000001
求和	？	x0000010
x=0	2	00000010
X=1	-2	10000010

无论x是正还是负，结果似乎都不正确。

 

 

2正数使用机器码，负数使用机器码按位取反

 

 

	十进制	有符号二进制原码表示
加数1	1	00000001
加数2（按位取反）	-2	11111101
求和	-1	10000001

我们定义最高位符号位的值是x，

对于1 + (-2) ，由于负数的绝对值（2）大于正数的绝对值（1），因此可以确定，x的值是1。

也就是首先能确定最终结果是个负数，然后计算其后面的数值位，

七位的：0000001

加上

七位的：1111101

得到

七位的：1111110

再加上符号位，得到

八位的：11111110

按照前提，这是一个负数，其真值要对其数值为按位取反，得到10000001，即 -1。

这个结果，貌似很好。但是如果计算1+ （-1）会怎么样呢？

	十进制	有符号二进制原码表示
加数1	1	00000001
加数2（按位取反）	-1	11111110
求和	??	X1111111
X=0	127	01111111
X=1（按位取反）	-0	10000000

 

这里在计算00000001和11111110时，由于1和-1的绝对值相等，那么其符号就无法确定。那么我们先不考虑符号位，将数值位进行二进制加法，然后得到x1111111。

那么这时候，x的值有两种可能：

X = 0 ，那这个数字是正数，正数值为：127

X = 1，那这个数字是负数，负数在本环境下是要按位取反来得到其真值的，因此

11111111按位取反，得到10000000，即真值为- 0

那么到底x等于几呢？这个似乎也是个不太好说的问题。

对于 -0 和 127，貌似 -0更加贴近最终的答案，那可以人为的规定，如果负数按位取反，在计算时，符号位优先使用1，即x值无法确定时，优先取1。

 

我们再计算一下-1 + （-1）

 

	十进制	有符号二进制原码表示
加数1（按位取反）	-1	11111110
加数2（按位取反）	-1	11111110
求和	-124	11111100（溢出）
按位取反	-3	10000011

 

 

3正数使用机器码按位取反，负数使用机器码

 

	十进制	有符号二进制原码表示
加数1（按位取反）	2	01111101
加数2	-1	10000001
求和	126	01111110
按位取反	1	00000001

 

 

 

	十进制	有符号二进制原码表示
加数1（按位取反）	1	01111110
加数2	-1	10000001
求和	??	X1111111
X=0（按位取反）	0	00000000
X=1	-127	11111111

 

根据第2中情况的分析，我们可以得到上表的结果。

此时，x的值仍然有两种情况，

X优先取0，则得到结果 0

X优先取1，则得到结果-127

那么这种情况下可以规定，x值优先取0。

 

我们计算1 + 1

	十进制	有符号二进制原码表示
加数1（按位取反）	1	01111110
加数2（按位取反）	1	01111110
求和	124	01111100（溢出）
按位取反	3	00000011

 

 

4正数使用机器码取反，负数使用机器码取反

 

	十进制	有符号二进制原码表示
加数1（按位取反）	1	01111110
加数2（按位取反）	-1	11111110
求和	??	X1111100（溢出）
X=0（按位取反）	3	00000011
X=1（按位取反）	-3	10000011

 

 

归纳上面的规律

 

序号	名称	1+1	2+2	1+（-1）	1+（-2）	-1+（-1）	-2+（-2）
1	正原负原码	2	4	2或-2	-3	-2	-4
2	正原负反码	2	4	-0或127	-1	-3	-1
3	正反负原码	3	1	0或-127	-0	-2	-4
4	正反负反码	3		3或-3		-3

 

 

 

可以看到，有价值的是1和2，将两种组合，应该可以计算出正确的结果。

 

	正+正	正+负	负+负	结论
1	Y	N	Y	符号相同成立
2	Y	Y	N	符号不同成立，双正成立

 

 

我们使用1和2结合，得到如下二进制加法计算规则：

 

在符号相同时，符号位不变，数值位直接进行二进制加法。

在符号不同时，符号位由绝对值大的数字的符号决定，如果绝对值相同，优先使用负值，而负数将数值部分，用机器码按位取反后，再与正数进行二进制加法。

 

那么按照这个规则，在进行计算机的运算处理时，需要考虑哪些问题呢？

 

1要判断数字的符号

2要根据符号相同和不同采取不同的策略

 

这里面，1是必须要考虑的，因为有符号数字，必须要有一个位来标识符号。

有了这一点，就可以解决同符号的加法问题了。

 

对于不同符号的加法，如果正数和负数绝对值相同，仍然是个不好处理的问题。

结论：复杂度低，但是还有待改善

 

三补码

上节讲的，正数用机器码表示，负数用机器码按位取反的表示方法，就是反码。

而且，一个数字的反码所表示的数字，与自身的和，是固定值——这个数值所能表示的最大值。

对于8位无符号数值类型的变量，其最大值是255。

而7位的话，最大值是127。

因此，对于1+(-2)，可以先确定符号位是1，然后计算000 0001和000 0010（取反）的和

即，000 0001 + 111 1101，结果是111 1110。再取反，得到000 0001。再补上最高位的1

得到，1000 0001，结果就是-1。

 

当正值和负值的绝对值相同的时候，例如 1+(-1)，我们规定此时符号0，然后计算

000 0001和000 0001（取反）的和，即000 0001 + 111 1110，结果是111 1111。由于这个数字式正数，因此其值为127。注意，这里的前提是，正数保持原样，负数按位取反。

那么127，代表什么呢？

对于一个char字符，除去其最高位符号位，还剩下7位。

7位二进制的表示范围是000 0000到111 1111，即0到127，共128个数字。

从000 0000开始加1，加127次达到最大值。

达到最大值之后，如果再加1，就得到1 000 0000。而这里的最高位因为溢出而会被舍去，因此只存储了000 0000这7位值，这个值就回到了最初。

 

对于钟表来讲，从1开始，依次加1，加到12时，达到了最大值。再加1的话，就得到了13，而13由于溢出，因此只保留了1。

 

因此，我们可以得到这个结果，如果最小值从1开始，那么最大值就是周期。

因此钟表的周期是12。

那么7位二进制数的周期是多少呢？从0到127，为了和钟表统一，我们将其整体加1：

从1开始，最大到128。这样可以推出，7位二进制的周期是128。

 

也就是说，7位二进制数，表示的数字，具备这样的特性。

数字N与其按位取反的数字M，必有N+M=周期-1。

因此N=周期-1-M。

而周期会溢出，因此在N上增加若干整数倍周期，与没有增加周期，其结果是一样的。

因此有：周期+N = 周期 – 1 – M。注意这里的相等，是去掉溢出位之后相等。

那么所有两边都去掉一个周期。

就得到

N = -1 – M即N=  -（M+1）

因此就有 -N =  M + 1 

 

根据同余的特性，对于任意数字X，X在7位二进制数字表示范围内：

有X+（-N） =  X+ M+1

而M为N的按位取反（反码）。所以对于一个负数，在其二进制反码的基础上在加上数字1，就得到了其同余的数值。这就是现在计算机中实际表示数据的形式——二进制的补码。

 

以上的推导过程，不是严格的数学证明，只是为了方便理解。

 

而我们用补码方式来进行计算1 + （-1）

首先确定符号位的值是0

因此计算000 0001 和 000 0001（求补）的和，即

000 0001 + 111 1111 因此，得到000 0000，再补充上最高位0，

得到0 000 0000，即数字0。

完美解决了，在使用反码时，正数情况下的127而负数情况下-0的问题。

 

结论：使用补码存储数值，可以用加法的运算处理减法。计算相反数的加法，也正确。

可以使用。

 

四总结

数学是计算机的基础，从计算机的二进制存储可见一斑。因此我们在学习计算机技术的同时，加强数学知识的学习，是非常重要的。